Question

Qual número é maior: 7^92 ou 8^91?

Answer 1

Dados dois números naturais $a$ e $b$, temos três possibilidades: $a>b$, $a=b$ ou $a<b$.

É claro que a igualdade $7^{92}=8^{91}$ não é verdadeira. Pra começar esses números não têm a mesma paridade.

Vamos verificar cada uma das desigualdades: $7^{92}>8^{91}$ e $7^{92}<8^{91}$.

Vamos supor que $7^{92}>8^{91}$.

Multiplicando os dois lados dessa desigualdade por $8$, obtemos:

$8\cdot7^{92}>8^{92}$

Dividindo os dois lados por $7^{92}$, temos:

$\dfrac{8\cdot7^{92}}{7^{92}}>\dfrac{8^{92}}{7^{92}}$

$8>\left(\dfrac{8}{7}\right)^{92}$

Note que, $\dfrac{8}{7}>1$, de modo que, $\left(\dfrac{8}{7}\right)^{92}$ é bem maior que, $8$.

Então, a única possibilidade é $8^{91}>7^{92}$.

Verificando, chegaríamos a seguinte desigualdade:

$8<\left(\dfrac{8}{7}\right)^{92}$ 

Que é verdadeira.

Answer 2

Podemos partir de qualquer das hipóteses de uma desigualdade, uma vez que as expressões não podem ser iguais.

vamos supor que: 7⁹² >  8⁹¹

Se dividirmos ambos os lados por 7⁹¹, teremos:

7 > 8⁹¹/7⁹¹

ou seja

7 > (8/7)⁹¹

Como 8/7 > 1,  (8/7)⁹¹ é maior que 7, o que contradiz nossa tese. Logo a relação correta é:

8⁹¹ > 7⁹²