Question

Qual é o valor de x para que o logaritmo exista:

a) log3 2X-7
b) logx+5/39
c) log3-x X^2+2x+1​

Answer 1

Vou o resolver a questão mais "punk"

c)

$\mathsf{log_{3-x}({x}^{2}+2x+1)}$

O logaritmando deve ser estritamente positivo. Portanto

$\mathsf{{x}^{2}+2x+1>0}$

Fazendo

$g(x)={x}^{2}+2x+1$

Vamos determinar a raiz de g(x) :

${x}^{2}+2x+1=0\\{(x+1)}^{2}=0\\x+1=0\\x=-1$

A parabola tem concavidade para cima e tangencia a função em x=-1. Logo esta é positiva para todo x real diferente -1.

Ou seja

$g(x)>0\to\,\{x\in\,\mathbb{R}/x\ne\,-1\}$

Vamos analisar a situação da base. Esta deve ser positiva e diferente de 1.daí

$\mathsf{3-x\ne\,1}\\\mathsf{-x\ne\,1-3}\\\mathsf{-x\ne\,-2\times(-1)}\\\mathsf{x\ne\,2}$

$\mathsf{3-x>0\times(-1)}\\\mathsf{x-3<0}\\\mathsf{x<3}$

Agora vamos fazer a intersecção entre os valores e dar a resposta.

$\mathsf{log_{3-x}({x}^{2}+2x+1)\exists\Leftrightarrow\,x<-1}$

b)

$\mathsf{log_{x+5}(\dfrac{1}{39}) }$

Perceba que o logaritmando esta perfeitamente definido. O nosso problema está na base.

Lembre-se que ela deve ser positiva e diferente de 1. Daí

$\mathsf{x+5\ne\,1}\\\mathsf{x\ne\,1-5}\\\mathsf{x\ne\,-4}$

$\mathsf{x+5>0}\\\mathsf{x>-5}$

$\mathsf{log_{x+5}(\dfrac{1}{39})\exists\Leftrightarrow\,x\ne-4\:e\:x>-5}$