Question

Qual é o valor de sen x, sabendo que cos x + 2 . sen x = 2?

Answer 1

Oi Mysoluis!

Primeiro, vamos recordar a relação fundamental da trigonometria:
$cos^2x+sen^2x=1$

Desse modo, como queremos descobrir o valor de senx, podemos colocar cosx em função de senx:
$cos^2x = 1-sen^2x \\ cosx = \sqrt{1-sen^2x}$

Sabendo esse valor parcial de cosx, podemos então substitui-lo na equação:
$cosx+2senx=2 \\ \sqrt{1-sen^2x}+2senx=2$

Veja que chegamos numa equação irracional. Um dos métodos mais eficazes para resolver essa operação matemática é o ato de isolar em um dos membros o termo irracional e elevar ambos membros ao quadrado. Portanto, vamos fazer isso:
$\sqrt{1-sen^2x}+2senx=2 \\ \sqrt{1-sen^2x}=2 -2senx \\ (\sqrt{1-sen^2x})^2=(2 -2senx)^2 \\ 1-sen^2x=4-8senx+4sen^2x \\ 5sen^2x-8senx+3=0$

Nesse momento encontramos uma equação do segundo grau. Pode não ser tão visível à primeira vista, mas, vamos substituir "senx" por "y", para deixar mais fácil de visualizar:
$5sen^2x-8senx+3=0 \\ 5y^2-8y+3=0$

Logo, podemos resolver a partir desse ponto pelo método de Bhaskara:
$\Delta = 8^2-4(5)(3) \\ \Delta = 64-60 \\ \Delta = 4$

$y' = \frac{8+2}{10}= \boxed{1} \\ \\ y'' = \frac{8-2}{10}= \frac{6}{10}= \boxed{0,6}$

Como sabemos que y = senx, concluímos que:
$\boxed{senx = 1 \:\:ou\:\:0,6}$

Bons estudos!