Question

Qual é o valor da integral de e^x/(e^(2x)+3) de 0 a infinito?
A)0
B) 1
C) pi
D) pi*raiz(3)/9
E) pi/3
F) nenhuma das respostas anteriores

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\sf \int \limits_ {0}^{\infty} \frac{e {}^{x} }{e {}^{2x} + 3 } dx \: \to \: \: \int \limits_ {0}^{\pi} \frac{e {}^{x} }{(e {}^{x})^{2} + 3 }dx$

Como podemos ver, trata-se de uma integral imprópria, portanto vamos usar a propriedade de deixá-la em um formato mais fácil de resolver:

$\sf \int \limits_ {a}^{ \infty } f(x) \: dx \to \: \lim_{b \to \infty } \int \limits_ {a}^{b} f(x) \: dx \\ \\ \sf \int \limits_ {0}^{ \infty } \frac{e {}^{x} }{e {}^{2x} + 3 } dx \: \to \:\lim_{b \to \infty }\int \limits_ {0}^{ b } \frac{e {}^{x} }{e {}^{2x} + 3 } dx$

Tendo feito essa modificação, vamos iniciar a resolver essa integral. Primeiro vamos fazer uma substituição de variável, para que possamos usar um método de solução de integrais. Digamos então que u = e^x, derivando essa suposição, temos

$\sf u = e {}^{x} \: \to \: \frac{du}{dx} = e {}^{x} \: \to \: \frac{du}{e {}^{x} } = dx$

Substituindo essas informações:

$\sf\int \limits_ {0}^{\infty} \frac{u }{u^{2} + 3 }. \frac{du}{e {}^{x} }, \: mas \: u = e {}^{x} \\ \\ \sf\int \limits_ {0}^{\infty} \frac{u }{u^{2} + 3 }. \frac{du}{u } \: \to \: \: \sf\int \limits_ {0}^{\infty} \frac{du }{u^{2} + 3 }$

Agora vamos resolver essa integral pelo método da substituição trigonométrica, mas antes de resolver termos que fazer uma pequena modificação para que a integral obedeça o formato para usarmos esse método:

$\sf\int \limits_ {0}^{\infty} \frac{du }{u^{2} + 3 } \: \to \: \sf\int \limits_ {0}^{\infty} \frac{du }{u^{2} + (\sqrt{3} ) {}^{2} }$

Agora sim temos o formato correto. Para resolver essa integral vamos usar a substituição trigonométrica quando tem-se $\sqrt{x^2+a^2}$, nesse caso devemos usar a tangente para a resolução, então:

$\sf \tg( \theta) = \frac{u}{ \sqrt{3} } \: \to \: \: u = \sqrt{3} . \tg( \theta)$

Tendo feito isso, agora devemos derivar em relação ao ângulo theta:

$\sf \frac{du}{d \theta} = \sqrt{3} . \sec {}^{2} ( \theta) \: \to \: \sf {du} = \sqrt{3} . \sec {}^{2} ( \theta) \: d \theta$ Substituindo essas informações na integral:

$\sf \sf\int \limits_ {}^{} \frac{du}{u^{2} + ( \sqrt{3} ) {}^{2} } \: \to \: \int \frac{ \sqrt{3} . \sec {}^{2} ( \theta) \: d \theta}{( \sqrt{3} \tg (\theta) ) {}^{2} + ( \sqrt{3} ) {}^{2} } \\ \\ \sf \int \frac{ \sqrt{3} . \sec {}^{2} ( \theta) \: d \theta}{{3} \tg {}^{2} (\theta) +{3} } \: \to \sqrt{3 } \int \frac{ \sec {}^{2} ( \theta) \: d \theta}{3.(1 + \tan {}^{2} ( \theta))}$

Como sabemos:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \sf \tan {}^{2} (x) + 1 = \sec {}^{2} (x)$

Substituindo essa informação:

$\sf \sqrt{3} \int\frac{ \sec {}^{2} ( \theta) \: d \theta}{3. \sec {}^{2} ( \theta)} \: \to \: \frac{ \sqrt{3} }{3} \int d \theta \\ \\ \sf \frac{ \sqrt{3} }{3} . \theta + c$

Retornando para a função de "x", para isso vamos analisar o triângulo retângulo (anexado):

$\sf \theta = \arctan \left( \frac{u}{ \sqrt{3} } \right), \sf mas \: u = e {}^{x} \\ \\ \sf \theta = \arctan \left( \frac{e {}^{x} }{ \sqrt{3} } \right)$

Substituindo na solução, chegamos a:

$\sf \frac{ \sqrt{3} }{3} . \arctan \left( \frac{e {}^{x} }{ \sqrt{3} } \right)$

Reaplicando o limite e os limites de integração:

$\sf \lim_{b \to \infty } \left [ \frac{ \sqrt{ 3} }{3}. \arctan \left( \frac{e {}^{x} }{ \sqrt{3} } \right) \right] \bigg |_ {0}^{ b } \\ \\ \sf \sf \lim_{b \to \infty } \left[ \left( \frac{ \sqrt{3} }{3}. \arctan \left( \frac{e {}^{ b} }{ \sqrt{3} } \right) \right) - \left( \frac{ \sqrt{3} }{3}. \arctan \left( \frac{e {}^{0} }{ \sqrt{3} } \right) \right) \right] \\ \\ \sf \lim_{b \to \infty }\left[ \left( \frac{ \sqrt{3} }{3}. \arctan \left( \frac{e {}^{ b} }{ \sqrt{3} } \right) \right) - \left( \frac{ \sqrt{3} }{3}. \right) \frac{\pi}{6} \right]$

Substituindo o valor a qual o b tende:

$\sf \lim_{b \to \infty } \left[ \left( \frac{ \sqrt{3} }{3}. \arctan \left( \frac{e {}^{ \infty } }{ \sqrt{3} } \right) \right) - \left( \frac{ \sqrt{3} }{3}. \frac{\pi}{6} \right) \right]$

Quando o arcotangente tende para infinito, o resultado é que ele se aproxima de π/2, logo:

$\sf \frac{ \sqrt{3} }{3}. \frac{\pi}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{3} . \frac{\pi}{6} \: \to \: \frac{\pi \sqrt{3} }{6} - \frac{ \pi\sqrt{3} }{18} \\ \\ \sf \frac{18\pi \sqrt{3} - 6\pi \sqrt{3} }{108} \: \to \: \: \frac{12\pi \sqrt{3} }{108} \\ \\ \boxed{\sf \frac{\pi \sqrt{ 3} }{9} }$

A integral é convergente.

Espero ter ajudado