Question

Qual é o trigésimo termo da PA (4,6...)?

Answer 1

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (4, 6,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:4

c)trigésimo termo (a₃₀): ?

d)número de termos (n): 30 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 30ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do trigésimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 6 - 4 ⇒

r = 2     (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o trigésimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₃₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₃₀ = 4 + (30 - 1) . (2) ⇒

a₃₀ = 4 + (29) . (2) ⇒         (Veja a Observação 2.)

a₃₀ = 4 + 58 ⇒

a₃₀ = 62

Observação 2:  Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O trigésimo termo da P.A.(4, 6, ...) é 62.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₃₀ = 30 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o trigésimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₃₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

62 = a₁ + (30 - 1) . (2) ⇒

62 = a₁ + (29) . (2) ⇒

62 = a₁ + 58 ⇒    (Passa-se 58 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

62 - 58 = a₁ ⇒  

4 = a₁ ⇔              (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 4                   (Provado que a₃₀ = 62.)

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