Question

Qual é o termo independente no desenvolvimento de (2x+$\frac{\sqrt{2}}{x}$)^8?

Answer 1

Desenvolvendo um binômio (a+b)ⁿ teremos um somatório de n+1 termos como mostrado abaixo.

$(a+b)^n~=~a^nb^0~+~a^{n-1}b^1~+~...~+~a^0b^n$

Cada termo nesse desenvolvimento pode ser calculado individualmente pela expressão do termo geral:

$\boxed{T_{p+1}~=~\dbinom{n}{p}\cdot a^{n-p}\cdot b^p}\\\\\\Onde:~~~\left\{\begin{array}{ccc}\binom{n}{p}&=&\frac{n!}{p!\cdot (n-p)!}\\\\p&\in&[0,n]\end{array}\right.$

O termo independente é o termo que não está associado (não multiplica) qualquer variável, ou seja, é um número Real.

Por comparação ao binômio modelo acima, o binômio dado tem:

$\boxed{\begin{array}{ccc}a&=&2x\\\\b&=&\dfrac{\sqrt{2}}{x}\\\\n&=&8\end{array}}$

Para obtermos um termo independente no desenvolvimento deste binômio, precisamos que o expoente de "a" (n-p) e o expoente de "b" (p) no termo  $\binom{n}{p}a^{n-p}b^{p}$  sejam iguais para que a variável "x" possa ser "cancelada".

Assim, temos:

$n-p~=~p\\\\8-p~=~p\\\\2p~=~8\\\\p~=~\dfrac{8}{2}\\\\\boxed{p~=~4}$

Podemos agora calcular o termo solicitado:

$T_{4+1}~=~\dbinom{8}{4}\cdot a^{8-4}\cdot b^4\\\\\\T_{5}~=~\dfrac{8!}{4!\cdot (8-4)!}\cdot (2x)^{4}\cdot \left(\dfrac{\sqrt{2}}{x}\right)^4\\\\\\T_{5}~=~\dfrac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!}{4!\cdot (4)!}\cdot (2^4\cdot x^4)\cdot \left(\dfrac{\sqrt{2}^{\,4}}{x^4}\right)\\\\\\T_{5}~=~\dfrac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot \backslash\!\!\!4!}{\backslash\!\!\!4!\cdot 4!}\cdot (16\cdot x^4)\cdot \left(\dfrac{\sqrt[\backslash\!\!\!2]{2}^{\,\backslash\!\!\!4}}{x^4}\right)$

$T_{5}~=~\dfrac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5~\cdot~1}{1~\cdot~4\cdot 3\cdot 2\cdot1}\cdot (16x^4)\cdot \left(\dfrac{2^2}{x^4}\right)\\\\\\T_{5}~=~\dfrac{\backslash\!\!\!8\cdot 7\cdot \backslash\!\!\!6\cdot 5}{\backslash\!\!\!4\cdot \backslash\!\!\!3\cdot \backslash\!\!\!2}\cdot (16x^4)\cdot \left(\dfrac{4}{x^4}\right)\\\\\\T_{5}~=~(7\cdot 2\cdot 5)\cdot (16x^4)\cdot \left(\dfrac{4}{x^4}\right)\\\\\\T_{5}~=~\dfrac{(70)\cdot 16x^4\cdot 4}{x^4}$

$T_{5}~=~\dfrac{70\cdot 16\backslash\!\!\!x^4\cdot 4}{\backslash\!\!\!x^4}\\\\\\T_{5}~=~70\cdot 16\cdot 4\\\\\\\boxed{T_5~=~4480}~~ \Rightarrow~Resposta$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$