Question

Qual é o termo independente de x na expansão $(\frac{1}{x} -3x^{4} )^{10} ?$
a) 305
b)605
c)505
d)205
e)405

Answer 1

⇒ ( E ) Aplicando nossos conhecimentos sobre binômio de Newton, concluímos que o termo independente de x no desenvolvimento de   $\large{(1/x-3x^4)^{10}}$  é 405.

☞ Binômio de Newton:

$\Large{\text{ \boxed{( p+q)^{n} =\sum _{r=0}^{n}\frac{n!}{( n-r) !r!} p^{n-r} q^{r}} }}$

➜   Na sua questão,

$\large{\begin{cases}p=\dfrac{1}{x} =x^{-1}\\q=-3x^{4}\\n=10\end{cases}}$

Logo,

$\large{ \begin{array}{l}\displaystyle\left( x^{-1} -3x^{4}\right)^{10} =\sum _{r=0}^{10}\frac{10!}{( 10-r) !r!}\left( x^{-1}\right)^{10-r}\left( -3x^{4}\right)^{r} =\\\\\displaystyle=\sum _{r=0}^{10}\frac{10!}{( 10-r) !r!} x^{-10+r}( -3)^{r} x^{4r}\\\\\displaystyle=\sum _{r=0}^{10}\frac{10!}{( 10-r) !r!} x^{-10+5r}( -3)^{r}\end{array}}$

➜   O termo independente é o coeficiente do termo cujo expoente de x é 0. Para   $\large{x^{-10+5r} =x^{0}}$,   temos   $\large{{-10+5r} ={0}\Rightarrow r=2}$.   E para r = 2, temos

$\large{\text{ \begin{array}{l}\dfrac{10!}{( 10-2) !2!} x^{-10+5\cdotp 2}( -3)^{2} =\dfrac{10\cdotp 9\cdotp \cancel{8!}}{\cancel{8!} \cdotp 2\cdotp 1} \cdotp 1 \cdotp 9=\\\\=\underline{\underline{405}}\end{array} }}$

∴     O termo independente de x no desenvolvimento de   $\large{(1/x-3x^4)^{10}}$  é 405, o que consta na alternativa  ⇒ E     ✍️

Leia mais sobre esse assunto em:

https://brainly.com.br/tarefa/49552305

https://brainly.com.br/tarefa/25596899

https://brainly.com.br/tarefa/50200583