Question

Qual é o produto entre "x" e "y", sabendo que:
log(4) (3y + 10) - 3 = 0

log(4) (3x - 1) - log(4) (x + 1) = ½

Answer 1

Qual é o produto entre "x" e "y", sabendo que:

log(4) (3y + 10) - 3 = 0

log4(3y+10)=3

(3y+10)=4^3

3y+10=64

3y=64-10

3y=54

y=54/3

y=18


log(4) (3x - 1) - log(4) (x + 1) = ½

(3x-1)/(x+1)=4^(1/2)

(3x-1)/(x+1)=2

3x-1=2x+2

3x-2x=2+1

x=3


x=3 e y=18

x•y=18.(3)

x•y=54

espero ter ajudado!

boa tarde!

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Ricardo, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se o produto entre "x" e "y", sabendo-se que:

log₄ (3x+10) - 3 = 0     . (I) ;

e

log₄ (3x-1) - log₄ (x+1) = 1/2    . (II).

ii) Antes vamos logo para as condições de existência para cada uma das expressões. Note que só há logaritmos de logaritmandos positivos. Logo, na primeira expressão, deveremos ter que:

3y+10 > 0 -----> 3y > -10 ----> y > -10/3 --- Esta é a condição de existência para a expressão (I).

e

3x-1 > 0 ---> 3x > -1 ---> x > -1/3

e

x + 1 > 0 ---> x > -1 .

Agora note: entre "x" ser maior do que "-1/3" e ser maior do que "-1", vai prevalecer a primeira hipótese, pois sendo x > -1/3 já o será maior do que "-1". Logo, a condição de existência para a expressão (II) será: x > -1/3.

iii) Como já temos as condições de existência para cada uma das expressões logarítmicas, vamos trabalhar com cada uma.

iii.1) Trabalhando-se com a expressão (I), teremos:

log₄ (3y+10) - 3 = 0 ---- passando "-3" para o 2º membro, teremos:

log₄ (3y+10) = 3 ----- Note que se aplicarmos a definição de logaritmo, o que temos aqui é a mesma coisa que:

4³ = 3y + 10 ---- como 4³ = 64, teremos;

64 = 3y + 10 ---- passando "10" para o 1º membro, temos:

64 - 10 = 2y

54 = 3y ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo:

3y = 54

y = 54/3  

y = 18 <--- Este é o valor de "y". E veja que está atendendo à condição de existência da expressão (I), que era termos y > -10/3.

iii.2)  Agora vamos trabalhar com a expressão (II), que é esta:

log₄ (3x-1) - log₄ (x+1) = 1/2 ---- vamos aplicar a propriedade de transformar a subtração em divisão. Assim, ficaremos com:

log₄ [(3x-1)/(x+1)] = 1/2 ---- aplicando a definição de logaritmos, iremos ter que:

4¹/² = (3x-1)/(x+1) ---- note que 4¹/² = √(4) = 2. Assim, ficaremos com:

2 = (3x-1)/(x+1) ---- multiplicando-se em cruz, teremos:

2*(x+1) = 3x - 1 ---- efetuando o produto indicado no 1º membro, temos:

2x + 2 = 3x - 1 ---- passando "-1" para o 1º membro e passando "2x" para o 2º membro, iremos ficar assim:

2 + 1 = 3x - 2x ----- desenvolvendo os dois membros, teremos:

3 = x --- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, temos:

x = 3 <--- Este é o valor de "x". E note que também está obedecendo à condição de existência, que era termos x > -1/3.

iv) Finalmente agora vamos para o que a questão pede, que é o produto de "x" por "y". Assim, teremos:

x*y = 3*18

x*y = 54 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o produto pedido de "x" por "y".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

Ok?

Adjemir.