Qual é o produto entre "x" e "y", sabendo que:
log(4) (3y + 10) - 3 = 0
log(4) (3x - 1) - log(4) (x + 1) = ½
Soluções para a tarefa
log(4) (3y + 10) - 3 = 0
log4(3y+10)=3
(3y+10)=4^3
3y+10=64
3y=64-10
3y=54
y=54/3
y=18
log(4) (3x - 1) - log(4) (x + 1) = ½
(3x-1)/(x+1)=4^(1/2)
(3x-1)/(x+1)=2
3x-1=2x+2
3x-2x=2+1
x=3
x=3 e y=18
x•y=18.(3)
x•y=54
espero ter ajudado!
boa tarde!
Vamos lá.
Veja, Ricardo, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se o produto entre "x" e "y", sabendo-se que:
log₄ (3x+10) - 3 = 0 . (I) ;
e
log₄ (3x-1) - log₄ (x+1) = 1/2 . (II).
ii) Antes vamos logo para as condições de existência para cada uma das expressões. Note que só há logaritmos de logaritmandos positivos. Logo, na primeira expressão, deveremos ter que:
3y+10 > 0 -----> 3y > -10 ----> y > -10/3 --- Esta é a condição de existência para a expressão (I).
e
3x-1 > 0 ---> 3x > -1 ---> x > -1/3
e
x + 1 > 0 ---> x > -1 .
Agora note: entre "x" ser maior do que "-1/3" e ser maior do que "-1", vai prevalecer a primeira hipótese, pois sendo x > -1/3 já o será maior do que "-1". Logo, a condição de existência para a expressão (II) será: x > -1/3.
iii) Como já temos as condições de existência para cada uma das expressões logarítmicas, vamos trabalhar com cada uma.
iii.1) Trabalhando-se com a expressão (I), teremos:
log₄ (3y+10) - 3 = 0 ---- passando "-3" para o 2º membro, teremos:
log₄ (3y+10) = 3 ----- Note que se aplicarmos a definição de logaritmo, o que temos aqui é a mesma coisa que:
4³ = 3y + 10 ---- como 4³ = 64, teremos;
64 = 3y + 10 ---- passando "10" para o 1º membro, temos:
64 - 10 = 2y
54 = 3y ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo:
3y = 54
y = 54/3
y = 18 <--- Este é o valor de "y". E veja que está atendendo à condição de existência da expressão (I), que era termos y > -10/3.
iii.2) Agora vamos trabalhar com a expressão (II), que é esta:
log₄ (3x-1) - log₄ (x+1) = 1/2 ---- vamos aplicar a propriedade de transformar a subtração em divisão. Assim, ficaremos com:
log₄ [(3x-1)/(x+1)] = 1/2 ---- aplicando a definição de logaritmos, iremos ter que:
4¹/² = (3x-1)/(x+1) ---- note que 4¹/² = √(4) = 2. Assim, ficaremos com:
2 = (3x-1)/(x+1) ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*(x+1) = 3x - 1 ---- efetuando o produto indicado no 1º membro, temos:
2x + 2 = 3x - 1 ---- passando "-1" para o 1º membro e passando "2x" para o 2º membro, iremos ficar assim:
2 + 1 = 3x - 2x ----- desenvolvendo os dois membros, teremos:
3 = x --- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, temos:
x = 3 <--- Este é o valor de "x". E note que também está obedecendo à condição de existência, que era termos x > -1/3.
iv) Finalmente agora vamos para o que a questão pede, que é o produto de "x" por "y". Assim, teremos:
x*y = 3*18
x*y = 54 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o produto pedido de "x" por "y".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.