Question

Qual é o número de soluções do sistema linear x + y + z = 6, 2x + 4y + 4z = 22, 3x + 2y + z = 10

Answer 1

Para determinar o número de soluções, precisamos utilizar o Teorema de Frobenius.

Ele diz que para que um sistema de x equações e y incógnitas seja compatível, o posto da matriz deve ser igual ao posto da matriz aumentada. Se este valor é igual ao número de incógnitas, então o sistema é compatível e determinado, possuindo apenas uma solução, caso contrário, ele é indeterminado.

O posto de uma matriz é o número de linhas ou colunas linearmente independentes. Analisando a matriz dos coeficientes A:
$A= \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&4&4\\3&2&1\end{array}\right]$

Não é possível escrever nenhuma combinação linear entre duas ou mais linhas, portanto o posto da matriz é 3.

Agora, vejamos a matriz aumentada:
$A^* = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\\2&4&4&22\\3&2&1&10\end{array}\right]$

Também não é possível fazer combinações lineares. Seu posto é 3.

Pelo Teorema de Frobenius, o posto de A é igual ao posto de A* e igual ao número de incógnitas. Então o sistema é compatível e determinado, possuindo uma única solução.