Qual é o menor valor de x que torna a expressão 9ˣ - 7,3ˣ + 10 = 0 verdadeira?
Dados: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Vanyalcampos, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Qual é o menor valor de "x" que torna a verdadeira a expressão:
9ˣ - 7*3ˣ + 10 = 0, sendo dados que: log (2) = 0,3; e log (3) = 0,48.
ii) Agora vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:
9ˣ - 7*3ˣ + 10 = 0 ----- note que 9 = 3². Assim, ficaremos com:
(3²)ˣ - 7*3ˣ + 10 = 0 ----- desenvolvendo, ficaremos com:
3²ˣ - 7*3ˣ + 10 = 0 ----- vamos fazer 3ˣ = y. Com isso, ficaremos assim:
y² - 7y + 10 = 0 ----- agora veja: se você aplicar Bháskara encontrará que as raízes desta equação do 2º grau serão estas:
y' = 2; e y'' = 5 <--- Estas são as raízes da equação dada.
iii) Mas lembre-se que fizemos 3ˣ = y. Então:
iii.1) Para y = 2, teremos:
3ˣ = 2 ---- aplicando logaritmo (na base 10) a ambos os membros, teremos:
log (3ˣ) = log (2) ---- passando o expoente "x" multiplicando (é uma propriedade logarítmica), teremos;
xlog (3) = log (2) ---- como já foi dado que log (3) = 0,48 e log (2) = 0,3 então ficaremos com:
x*0,48 = 0,3 ----- isolando "x", teremos:
x = 0,3/0,48 ------ note que esta divisão dá exatamente "0,625". Logo:
x = 0,625 <--- Este é um possível valor para "x".
ii.2) Para y = 5, teremos:
3ˣ = 5 ------- aplicando logaritmo (na base 10) a ambos os membros, temos:
log (3ˣ) = log (5) ---- passando o expoente "x" multiplicando, temos:
xlog (3) = log (5) ---- já sabemos que log (3) = 0,48. Assim:
x*0,48 = log (5) ---- note que 5 = 10/2. Assim:
0,48x = log (10/2) ---- transformando a divisão em subtração, teremos (é outra propriedade logarítmica):
0,48x = log (10) - log (2) ----- como log (10) = 1; e log (2) = 0,3 , teremos:
0,48x = 1 - 0,3 ------ como "1-0,3 = 0,7", teremos:
0,48x = 0,7 ----- isolando "x", teremos:
x = 0,7 / 0,48 ---- note que esta divisão dá "1,46" (bem aproximado). Logo:
x = 1,46 <--- Este é outro possível valor para "x".
ii.3) Mas note que está sendo pedido é o menor valor de "x" que satisfaz à expressão originalmente dada [9ˣ - 7*3ˣ + 10 = 0]. Então o menor valor que encontramos, como você poderá concluir, será o de x = 0,625. Logo:
x = 0,625 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o menor valor de "x" que faz verdadeira a expressão original [9ˣ - 7*3ˣ + 10 = 0], utilizando-se os dados fornecidos no enunciado da questão [log (2) = 0,3; e log (3) = 0,48].
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Qual é o menor valor de x que torna a expressão
9ˣ - 7,3ˣ + 10 = 0 verdadeira?
Dados: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48
Explicação passo-a-passo:
y = 3^x
y^2 - 7y + 10 = 0
(y - 2)*(y - 5) = 0
y1 = 2
y2 = 5
menor x
3^x = 2
xlog(3) = log(2)
x = log(2)/log(3) = 0.30/0.48 = 0.625