Matemática, perguntado por elizamaluna51272, 10 meses atrás

Qual é o décimo termo da progressão aritmética (3,12,...)?

Soluções para a tarefa

Respondido por victorpatrick1807

Resposta:

a10 = 84

Explicação passo-a-passo:

S = {3,12,...}

Nessa sequêcia temos que a variação, isto é, a diferença entre um termo e seu antecessor, é igual a 9, pois :

12-3 = 9

Assim:

3 = 3+0 = 3+9×0 1° termo

12 = 3+9 = 3+9×1 2° termo

21 = 3+18 = 3+9×2 3° termo

30 = 3+27 = 3+9×3 4° termo

Assim:

a10 = 3+9×(10-1)

a10 = 3+9×9

a10 = 3+81

a10 = 84

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (3, 12,...), tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:3

b)décimo termo (a₁₀): ?

c)número de termos (n): 10 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 10ª), equivalente ao número de termos.)

d)Embora não se saiba o valor do décimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem, afastam-se do zero, particularmente à sua direita, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 12 - 3 ⇒

r = 3 (Razão positiva, conforme prenunciado no item d acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o décimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₀ = 3 + (10 - 1) . (9) ⇒

a₁₀ = 3 + (9) . (9) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₀ = 3 + 81 ⇒

a₁₀ = 84

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O décimo termo da P.A.(3, 12,...) é 84.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₀ = 84 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

84 = a₁ + (10 - 1) . (9) ⇒

84 = a₁ + (9) . (9) ⇒

84 = a₁ + 81 ⇒ (Passa-se 81 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

84 - 81 = a₁ ⇒

3 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 3 (Provado que a₁₀ = 84.)

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