Matemática, perguntado por Heloisaprestes15, 11 meses atrás

Qual é o décimo oitavo termo da PA (3,8... ) ?

Soluções para a tarefa

Respondido por carolinealvs

r = a2 - a1
r = 8 - 3
r = 5

a18 = a1 + 17.r
a18 = 3 + 17.5
a18 = 3 + 85
a18 = 88

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (3, 8,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:3

c)décimo oitavo termo (a₁₈): ?

d)número de termos (n): 18 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 18ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do décimo oitavo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 8 - 3 ⇒

r = 5 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o décimo oitavo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₈ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₈ = 3 + (18 - 1) . (5) ⇒

a₁₈ = 3 + (17) . (5) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₈ = 3 + 85 ⇒

a₁₈ = 88

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O décimo oitavo termo da P.A.(3, 8, ...) é 88.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₈ = 88 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo oitavo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₈ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

88 = a₁ + (18 - 1) . (5) ⇒

88 = a₁ + (17) . (5) ⇒

88 = a₁ + 85 ⇒ (Passa-se 85 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

88 - 85 = a₁ ⇒

2 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 2 (Provado que a₁₈ = 88.)

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