Question

Qual é a soma dos múltiplos de 20, compreendidos entre 100 e 1000?

Answer 1

Boa noite!

A soma de múltiplos de qualquer número “x” pode ser vista como a soma de uma PA onde a razão (r) é “x”. Veja a seguinte:

(120, 140, 160, 180, ..... 980)

Veja que os números estão aumentando de 20 em 20, logo a razão (r) da minha PA é 20.

O primeiro termo (a1) da PA é 120 pois é o primeiro múltiplo de 20 entre 100 e 1000 e o último termo (aN) é 980 pois é o último múltiplo de 20 entre 100 e 1000.


Sabe-se que apenas com o primeiro termo (a1) e o último (aN) de uma PA e, ainda, o número de termos (N) da PA é possível calcular a soma (sN) de todos os termos da PA. É dada a seguinte fórmula:

sN = [(a1 + aN)*N]/2

Logo, já temos o primeiro termo (a1) e o último (aN). Resta saber quantos termos (N) tem essa PA. Para isso, precisamos lembrar da fórmula do termo geral da PA, que envolve um termo genérico qualquer (aN), o primeiro termo (a1), a posição do termo genérico (N) e a razão (r):

aN = a1 + (N - 1)*r —> aN = 980,
a1 = 120, r = 20

980 = 120 + (N - 1)*20
980 - 120 = (N - 1)*20
860 = (N - 1)*20
N - 1 = 860/20
N - 1 = 43
N = 44

Logo, a PA possuí 44 termos sendo o último termo (a44) o 980. Agora podemos, finalmente, calcular a soma dessa PA:

sN = [(a1 + aN)*N]/2 —> a1 = 120, aN = a44 = 980, N = 44

sN = [(120 + 980)*44]/2
sN = [1100*44]/2
sN = [1100*22]
sN = 24200

Portanto, a soma dos múltiplos de 20 entre 100 e 1000 é 24200.

Espero ter ajudado!

DISCÍPULO DE THALES