Question

Qual é a soma de todos os números naturais que satisfazem a inequação (2x-19)×(x+7)×(-x+4) >0
a) 33 b) 34 c) 35 d) 36 e) 37​

Answer 1

f(x)=2x-19

Raíz :

$2x-19=0 \\2x=19 \\ x=\frac{19}{2}$

Estudo do sinal:

$f(x) >0 →x>\frac{19}{2} \\ f(x)<0→x<\frac{19}{2}$

g(x)=x+7

Raíz:

$x+7=0 \\ x=-7$

Estudo do sinal:

$g(x)>0 →x>-7 \\ g(x)<0→ x<-7$

h(x)=-x+4

Raíz:

$-x+4=0 \\ x=4$

Estudo do sinal:

$h(x)>0→x<4\\h(x)<0→x>4$

Montando um quadro de sinal temos:

-7 4 19/2

f(x) ––––––|––––––|––––––|++++++++++++++

g(x) ––––––|+++++++|+++++++|++++++++++++++

h(x) +++++++|++++++++|––––––|+++++++++++++

s ++++++++|––––––|+++++++|+++++++++++++++

S={x∈lR/4<x<19/2 ou x>19/2}

Como ele quer a soma dos naturais que é solução teremos

(5,6,7,8,9)

5+6+7+8+9=35 → alternativa c

Answer 2

A soma de todos os números naturais que satisfazem a inequação é 35, alternativa C.

Multiplicação de sinais

• na multiplicação e divisão, existe uma regra de sinais a ser seguida;

• multiplicação ou divisão de números com sinais iguais sempre será positiva (+ × +) = + ou - × - = +);

• multiplicação ou divisão de números com sinais opostos sempre será negativa (+ × - = - ou - × + = -).

Primeiro, devemos encontrar os zeros de cada termo:

f(x) = 2x - 19 = 0

2x = 19

x = 19/2

g(x) = x + 7 = 0

x = -7

h(x) = -x + 4 = 0

x = 4

Fazendo o estudo de sinal em cada função, temos:

f(x) < 0 para x < 19/2

f(x) > 0 para x > 19/2

g(x) < 0 para x < -7

g(x) > 0 para x > -7

h(x) < 0 para x > 4

h(x) > 0 para x < 4

O resultado de f(x)·g(x)·h(x) é positivo nos seguintes casos:

1. f(x) > 0, g(x) > 0, h(x) > 0;
2. f(x) > 0, g(x) < 0, h(x) < 0;
3. f(x) < 0, g(x) < 0, h(x) > 0;
4. f(x) < 0, g(x) > 0, h(x) < 0.

• Para o primeiro caso:

x > 19/2 e x > -7 e x < 4 ⇒ não é possível existir x > 19/2 e x < 4 ao mesmo tempo

• Para o segundo caso:

x > 19/2 e x < -7 e x > 4 ⇒ não é possível existir x < -7 e x > 4 ao mesmo tempo

• Para o terceiro caso:

x < 19/2 e x < -7 e x < 4 ⇒ x < -7

• Para o quarto caso:

x < 19/2 e x > -7 e x > 4 ⇒ 4 < x < 19/2

Como queremos os valores naturais de x (x ∈ N), temos no quarto caso os valores 5, 6, 7, 8 e 9 cuja soma é 35.

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