Question

qual é a medida a hipotenusa de um triangulo retângulo isosceles cujo perímetro é igual a 2?

Answer 1

Se o triangulo retângulo é isosceles significa que ele possui dois lados iguais e um diferente.

Sabendo- se que a hipotenusa é oposto ao maior angulo e que possui o maior lado.
Suponhamos que a hipotenusa seja igual = a cm
e que o cateto  = X cm
e o outro  cateto  = X cm
Pois repare que por ser isosceles possui 2 lados iguais por isso seus catetos são iguais.

Se o perímetro( ou seja a soma dos lados) é igual = 2 , então:

X + X + a = 2
2X + a = 2
a = 2 - 2X

Aplicando a fórmula de teorema de pitágora temos:
a² = x² + x²   (o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos)
substituindo o valor da hipotenusa a = 2 - 2X  encontrando, no teorema de pitagora temos:
a² = X² + X²  
(2 - 2X )² = X² + X²
 
sabendo -se em produto notáveis que o quadrado da diferença de dois termos é igual= ( a - b) ² = a² - 2ab + b² ou seja o quadrado do primeiro menos o dobro do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.
sabendo-se produto notáveis daremos prosseguimento nos calculos :
(2 - 2X )² = X² + X²
 2² - 4*2X + 4X² = X² + X²
 4 - 8X + 4X² = X² + X²
 4 - 8X + 4X² = 2X²
 4 - 8X + 4X² - 2X² = 0
 4 - 8X + 2X² = 0
 2X² - 8X + 4 = 0  simplificando multiplicando ambos os lados da equação por 1 
                                                                                                                 2
assim:
 1  *  2X² - 8X + 4 = 0 *  1 
 2                                2
X² - 4X + 2 = 0  onde : a = 1 , b = - 4 , c= 2
▲= b² - 4* a *c
▲ =  (- 4)² - 4 * 1 * 2
▲ = 16 - 8
▲ = 8
x = - b ± √▲
         2 * a
x =  4 ± √8 
        2 * 1
fatorando 8  da  √8 temos:
8 I 2
4 I 2
2 I 2
1 I      2² * 2 = 8
ou seja: √8 = √2² * √2 
             √8 = 2√2
prosseguindo o calculos temos:

x = 4 ± 2√2
         2
x' = 4 + 2√2
          2
x' = 2 + √2 (não serve como resposta pelo fato da soma dos lados(perímetro) se igual a 2)

ou 

x" = 4 - 2√2
           2
x" = 2 - √2 

como a hipotenusa  é igual ==> a= 2 - 2X  substituindo  X" = 2 - √2   temos:

a = 2 - 2( 2 - √2 ) 
a = 2 - 4 + 2√2
a = - 2 + 2√2
a = 2√2 - 2 ( resposta)

Answer 2

Resposta:

$y=\frac{2}{(\sqrt{2}+1)}$

Explicação passo-a-passo:

O triângulo isósceles possui duas medidas iguais. Uma vez que ele também é retângulo, podemos concluir que seus dois catetos são iguais. Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:

$x^2+x^2=y^2\\ \\ 2x^2=y^2\\ \\ \sqrt{2} \ x=y$

Agora, vamos calcular o perímetro do triângulo, que é a soma dos três lados do mesmo. Nessa equação, vamos isolar a medida do cateto.

$x+x+y=2\\ \\ 2x+y=2\\ \\ x=\frac{2-y}{2}$

Por fim, utilizamos esse valor na primeira equação e podemos determinar a hipotenusa desse triângulo retângulo. Portanto:

$\sqrt{2} \times \frac{2-y}{2}=y\\ \\ 2-y=\frac{2y}{\sqrt{2}}\\ \\ 2-y=\sqrt{2}y\\ \\ \sqrt{2}y+y=2\\ \\ y(\sqrt{2}+1)=2\\ \\ y=\frac{2}{(\sqrt{2}+1)}$

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