Question

Qual e a integral definida de

Answer 1

• A partir dos devidos cálculos realizados, chegamos no seguinte resultado:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \int_0^1\frac{x^3-x^2+x}{x} \ dx =\frac{5}{6} \end{gathered}$

Desejamos calcular a seguinte integral definida:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \int_0^1\frac{x^3-x^2+x}{x} \ dx \end{gathered}$

Que é a mesma coisa que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \int_0^1 \frac{x^3}{x} -\frac{x^2}{x} +\frac{x}{x}\ dx \end{gathered}$

Lembrando que na divisão de bases iguais, subtraímos o expoente do numerador pelo expoente do denominador.

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \int_0^1 x^2 -x +1 \ dx \end{gathered}$

E pela linearidade, temos que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \int_0^1 x^2 dx -\int_0^1xdx +\int_0^1 dx \end{gathered}$

Agora, vale ressaltar a propriedade de integração do monômio, que é dada da seguinte forma:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\sf \int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1} +C\ ,\ \forall n\neq -1}\end{gathered} }$

Logo, surge que:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\sf \left.\left(\frac{x^{2+1}}{2+1}\right)\right|_0^1 -\left.\left(\frac{x^{1+1}}{1+1}\right)\right|_0^1 +\left(x\right)\bigg|_0^1 \end{gathered} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\sf \left.\left(\frac{x^{3}}{3}\right)\right|_0^1 -\left.\left(\frac{x^{2}}{2}\right)\right|_0^1 +\left(x\right)\bigg|_0^1 \end{gathered} }$

Lembrando do Teorema Fundamental do Cálculo:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\boxed{\sf \int^a_bf(x)dx= F(x) \bigg|_b^a = F(a)-F(b)} \end{gathered}$

Desta forma, temos que:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\sf \left(\frac{(1)^{3}}{3}-\frac{(0)^3}{3} \right) -\left(\frac{(1)^{2}}{2}-\frac{(0)^2}{2} \right) +(1-0) \end{gathered} }$

Simplificando:

 $\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \frac{1}{3} -\frac{1}{2} +1\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf -\frac{1}{6} +1\end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\sf \underline{Resultado}: \green{\boxed{\sf \frac{5}{6}}} \end{gathered} }$

° Portando, através dos cálculos feitos, temos que o valor da integral definida da função dada é igual a 5/6.

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