Question

Qual é a função primitiva da função f(x) =3x^2?

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a primitiva - integral indefinida ou antiderivada -  da referida função é:

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \int 3x^{2}\,dx = x^{3} + c\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função dada:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt f(x) = 3x^{2}\end{gathered}$

Se queremos calcular a primitiva da referida função, devemos resolver a seguinte integral indefinida:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int 3x^{2}\,dx\end{gathered}$

Para resolver esta integral indefinida devemos levar em consideração as seguintes propriedades de integração de potências, ou seja:

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \int x^{n}\,dx = \Large\begin{cases}\tt \frac{x^{n + 1}}{n + 1},\:\:\:\textrm{se}\,n \neq -1\\\\\tt \ln|x|,\:\:\:\:\:\textrm{se}\,n = -1\end{cases}\end{gathered} }$

Então, temos:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int 3x^{2}\,dx = 3\int x^{2}\,dx\end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = 3\cdot\frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} + c\end{gathered} }$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{3}{3}x^{3} + c\end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = x^{3} + c\end{gathered}$

✅ Portanto, a primitiva procurada é:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int 3x^{2}\,dx = x^{3} + c\end{gathered}$

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Veja a solução gráfica representada na figura: