Question

Qual é a expansão binomial de (x + 2y)⁷?​

Answer 1

Resposta:

$\boxed {x ^ 7 + 14x ^ 6y + 84x ^ 5y ^ 2 + 280x ^ 4y ^ 3 + 560x ^ 3y ^ 4 + 672x ^ 2y ^ 5 + 448xy ^ 6 + 128y ^ 7}$

Explicação passo-a-passo:

Para responder a esta pergunta, você pode usar um padrão de número que é bem conhecido em álgebra e matemática superior chamado Triângulo de Pascal. No entanto, por razões de simplificação, usarei o Teorema Binomial, pois é muito difícil criar o Triângulo de Pascal sem apenas anexar uma imagem. Um binômio é qualquer expressão de dois termos que não sejam termos semelhantes (por exemplo, ambos são inteiros sem uma variável).

Parte I - Expandindo o Binomial usando o Teorema Binomial

Depois de construir o Triângulo de Pascal, você pode usar este método para expandir um binômio. Para fazer isso, vai exigir muita paciência e muito espaço.

Usando o Triângulo de Pascal, podemos expandir o binômio inteiramente referenciando os expoentes dados e os coeficientes que agora resolvemos para usar o Triângulo de Pascal.

Referindo-nos à sétima linha de expoentes do triângulo, podemos expandir o binômio usando uma fórmula conhecida como Teorema Binomial.

O teorema binomial afirma que:

$\large \boxed {(a + b) ^ {n} = \sum_ {k = 0} ^ {n} \binom {n} {k} a ^ {nk} b ^ {k}, \text {onde} \binom {n} {k} = \frac {n!} {(nk)! k!} \text {\: e \:} n! = 1 * 2 * 3 ... \text {n}}$

Portanto, podemos usar essas informações para começar a definir valores e expandir o binômio.

Recebemos um valor a, be n. Estes são definidos como $a = 2y$, $b = x$e $n = 7$.

Portanto, $(x + 2y) ^ {7} = \sum_ {k = 0} ^ {7} \binom {7} {k} (2y) ^ {7-k} (x) ^ {k}$

Usando essas informações, você pode resolver para cada valor k. Isso será um pouco extenso. Para resolver para cada valor k, ignore o sinal de soma e tudo o que estiver antes dele. Você só precisa das informações que seguem o sinal de soma: $\binom {7} {k} (2y) ^ {7-k} (x) ^ {k}$. Isso então se estenderá e permitirá que você use apenas as partes da equação que requerem fatoriais.

Certifique-se de que, ao obter uma resposta final, sempre aplique o expoente (k) ao resultado final.

k = 0

$\begin{gathered}\binom{7}{0}(2y)^{7-0}(x)^0 = \frac{7!}{(7-0)!0!}(2y)^{7}(x)^{0}\\\end{gathered}$

$\frac{7*6*5*4*3*2*1}{(7*6*5*4*3*2*1)}(2y)^{7}(x)^{0}$

$1(2y)^{7} = 2y^7=(2y*2y*2y*2y*2y*2y*2y)= 128y^7$

$\boxed{128y^7}$

k = 1

$\binom{7}{1}(2y)^{7-1}(x)^{1}=\frac{7!}{(7-1)!1!}(2y)^{6}(x)^1$

$\frac{7*6*5*4*3*2*1}{6*5*4*3*2*1} (2y)^{6}(x)^{1}$

$7(2y)^{6}(x)^{1}=448xy^6$

$\boxed{448xy^6}$

k = 3

$\binom{7}{3}(2y)^{7-3}(x)^3=\frac{7!}{(7-3)!3!}(2y)^{4}(x)^{3}$

$\frac{7*6*5*4*3*2*1}{(4*3*2*1)(3*2*1)}(2y)^4(x)^3$

$\frac{210}{6}(2y)^4(x)^3$

$35(2y)^4(x)^3=560x^3y^4$

$\boxed{560x^3y^4}$

k = 4

$\binom{7}{4}(2y)^{7-4}(x)^4 = \frac{7!}{(7-4)!4!}(2y)^3(x)^4$

$\frac{7*6*5*4*3*2*1}{(3*2*1)(4*3*2*1)}(2y)^3(x)^4$

$\frac{840}{24}(2y)^3(x)^4$

$35(2y)^3(x)^4=280x^4y^3$

$\boxed{280x^4y^3}$

k = 5

$\binom{7}{5}(2y)^{7-5}(x)^5=\frac{7!}{(7-5)!5!}(2y)^2(x)^5$

$\frac{7*6*5*4*3*2*1}{(2*1)(5*4*3*2*1)}(2y)^2(x)^5$

$\frac{2520}{120}(2y)^2(x)^5$

$21(2y)^2(x)^5 = 84x^5y^2$

$\boxed{84x^5y^2}$

k = 6

$\binom{7}{6}(2y)^{7-6}(x)^6=\frac{7!}{(7-5)!6!}(2y)^1(x)^6$

$\frac{7*6*5*4*3*2*1}{(1)(6*5*4*3*2*1)}(2y)^1(x)^6$

$\frac{5040}{720}(2y)^1(x)^6$

$7(2y)^1(x)^6=14x^6y$

$\boxed{14x^6y}$

k = 7

$\binom{7}{7}(2y)^{7-7}(x)^7=\frac{7!}{(7-6)(7!)}(2y)^0(x)^7$

$\frac{7*6*5*4*3*2*1}{(1)(7*6*5*4*3*2*1)}(2y)^0(x)^7$

$\frac{5040}{5040}(2y)^0(x)^7$

$1(2y)^0(x)^7=x^7$

$\boxed{x^7}$

Parte II - Adicionando/subtraindo todos os termos juntos

Agora, temos que dar uma olhada no binômio original e descobrir se devemos ou não adicionar ou subtrair esses termos juntos. O binômio original era $(x+2y) ^ 7$, então vamos adicionar (essa é a operação do binômio).

Portanto, adicionaremos todos os termos com os quais começamos seguindo a notação algébrica (ou seja, em ordem alfabética e o expoente mais alto ao expoente mais baixo).

$\boxed{x^7+14x^6y+84x^5y^2+280x^4y^3+560x^3y^4+672x^2y^5+448xy^6+128y^7}$

Este é o binômio expandido final (agora um polinômio).

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