Question

qual é a equação geral da circunferência tangente a reta r : x + y + 9 = 0 e de centro C ( - 1,4 )?

Answer 1

R´2= (x+1)´2 + (y-4)´2
R´2= x´2 + 2x + 1 + y´2 - 8y +16
R´2= x´2 + y´2 + 2x - 8y +17
R= - 9
81= x´2 + y´2 + 2x - 8y +17

Answer 2

Equação reduzida da circunferência

$(x - a)^2+(y-b)^2=r^2$

Onde (a,b) é o par ordenado do Centro da circunferência e r, é o raio dessa circunferência.

Para o ponto C(-1,4), temos que 

a = -1
b = 4

Para encontrarmos a equação da circunferência, precisamos do raio r.

Como a reta é tangente a circunferência, temos que, a distância do ponto C(a,b) até a reta r: ax + by + c = 0, é igual ao raio da circunferência. Veja uma ilustração em anexo.


$d_{(P,r)}= \dfrac{|ax_o+by_o+c|}{ \sqrt{a^2+b^2} }$

Onde, 

$d_{(P,r)}$ é a distância entre o ponto e a reta;

$x_o$ é a abscissa do ponto C e vale nesse caso (-1);

$y_o$ é a ordenada do ponto C e vale nesse caso (4);

a é o termo que acompanha o x da reta e nesse caso vale 1;

b é o termo que acompanha o y da reta e nesse caso vale 1; e

c é o termo independente da reta e nesse caso vale 9.

$d_{(P,r)}= \dfrac{|1.(-1)+1.(4)+9|}{ \sqrt{(-1)^2+(4)^2} }\\\\\\d_{(P,r)}= \dfrac{|-1+4+9|}{ \sqrt{17} } \\\\\\d{(P,r)}= \dfrac{12}{ \sqrt{17} } . \dfrac{ \sqrt{17} }{ \sqrt{17} }\\\\\\d_{(P,r)} = \dfrac{12 \sqrt{17} }{17}u.c$

u.c => unidade comprimento.

Voltando para a equação reduzida da circunferência

$[x-(-1)]^2+(y-4)^2= {( \dfrac{12 \sqrt{17} }{17} )}^{2} \\\\\\(x+1)^2+(y-4)^2= \dfrac{144.17}{17.17}\\\\\\(x+1)^2+(y-4)^2= \dfrac{144}{17}$

Equação Geral da Circunferência

$x^2+2x+1+y^2-4y+16- \dfrac{144}{17}=0\\\\\\x^2+y^2+2x-4y+17- \dfrac{144}{17}=0\\\\\\x ^2+y^2+2x-4y + \dfrac{145}{17} =0$