Question

Qual é a distancia entre o ponto de coordenada P(1,6) e a reta s: 2x + 4y - 1 = 0?
A25
B4
C(5√5)/2
D25√20
E√20/4
Precisa do cálculo

Answer 1

Com o cálculo realizado concluímos que a distância entre um ponto e uma reta é de:  

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{Ps} = \dfrac{5\sqrt{5} }{2} } }$

E tendo alternativa correta a letra C.

A distância de um ponto $\boldsymbol{ \textstyle \sf A }$ a uma reta $\boldsymbol{ \textstyle \sf r }$ é a medida do segmento de reta de extremidades em $\boldsymbol{ \textstyle \sf A }$ e $\boldsymbol{ \textstyle \sf B }$, em que $\boldsymbol{ \textstyle \sf B }$ é a projeção ortogonal de $\boldsymbol{ \textstyle \sf A }$ sobre $\boldsymbol{ \textstyle \sf r }$. ( Vide a figura em anexo ).

Fórmula da distância de um ponto a uma reta:

Um ponto $\boldsymbol{ \textstyle \sf P(x_P, y_P) }$ e uma reta r de equação $\boldsymbol{ \textstyle \sf ax +by +c = 0 }$, o cálculo da distância $\boldsymbol{ \textstyle \sf r }$ de $\boldsymbol{ \textstyle \sf P }$ a $\boldsymbol{ \textstyle \sf r }$.

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{d = \dfrac{\mid ax +by +c \mid}{\sqrt{a^2 +b^2} } } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf P(1,6) \\\sf s: 2x +4y - 1 0 \\ \sf d(Ps) = \:? \end{cases} } }$

Resolução:

Cálculo da distância de P à reta s:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d = \dfrac{\mid ax +by +c \mid}{\sqrt{a^2 +b^2} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d = \dfrac{\mid 2 \cdot 1 + 4\cdot 6 -1 \mid}{\sqrt{2^2 +4^2} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d = \dfrac{\mid 2 + 24 -1 \mid}{\sqrt{4 +16} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d = \dfrac{\mid 26 -1 \mid}{\sqrt{20} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d = \dfrac{25 }{\sqrt{20} } \cdot \dfrac{\sqrt{20} }{ \sqrt{20} } = \dfrac{5\sqrt{4} \cdot \sqrt{5} }{ \sqrt{400} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d = \dfrac{5\sqrt{4} \cdot \sqrt{5} }{ 20 } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d = \dfrac{5 \cdot 2 \sqrt{5} }{20} = \dfrac{5 \backslash\!\!\!{0} \sqrt{5} }{2 \backslash\!\!\!{0}} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf d = \dfrac{5 \sqrt{5} }{2} }$

Alternativa correta é a letra C.

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