Question

Qual é a distância entre a origem e a reta que passa pelos pontos A (1,1) e B(-1,3)?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Andreoráculo, que a resolução é simples.
Pede-se a distância entre a origem dos eixos cartesianos [que é o ponto O(0; 0)] e a reta que passa pelos pontos A(1; 1) e B(-1; 3).

Antes veja que uma reta que passa nos pontos A(xa; ya) e B(xb; yb), tem o seu coeficiente angular (m) encontrado assim:

m = (yb-ya)/(xb-xa)

Portanto, tendo a relação acima como parâmetro, então a reta que passa nos pontos A(1; 1) e B(-1; 3) , terá o seu coeficiente angular (m) encontrado da seguinte forma:

m = (3-1)/(-1-1)
m = (2)/(-2)
m = 2/-2
m = - 1 <--- Este é  o coeficiente angular da reta que passa nos pontos dados acima.

Agora veja mais isto: quando já se conhece o coeficiente angular (m) de uma reta e apenas um ponto por onde ela passa A(xa; ya), a sua equação é encontrada da seguinte forma:

y - ya = m*(x - xa)

Então, tendo a relação acima como parâmetro, a reta que passa nos pontos A(1; 1) e B(-1; 3), terá a sua equação encontrada do seguinte modo [vamos usar o ponto A(1; 1)]:

y - 1 = - 1*(x - 1)
y - 1 = - x + 1 ----- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:
y - 1 + x - 1 = 0 ---- ordenando e reduzindo os termos semelhantes, temos:
x + y - 2 = 0 <--- Esta é a equação da reta que passa nos pontos dados.

Agora veja: quando se tem a equação de uma reta [Ax + By + C = 0] e queremos encontrar a distância de um ponto P(x₀; y₀) a essa reta, utilizaremos a seguinte fórmula:

d = |Ax₀ + By₀ + C| / [√(A²+B²)] , em que "d" é a distância, A, B e C são os coeficientes da reta, e x₀ e y₀ são as coordenadas do ponto considerado para o cálculo da distância desse ponto à reta..

Note que os coeficientes A, B e C da reta x + y - 2 = 0 e as coordenadas do ponto na origem dos eixos cartesianos O(0; 0) são estes:

A = 1 ---- (é o coeficiente de x)
B = 1 --- (é o coeficiente de y)
C = - 2 --- (é o coeficiente do termo independente)
x₀ = 0
y₀ = 0

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula acima, teremos;

d = |1*0 + 1*0 + (-2)| / [√(1² + 1²)
d = |0 + 0 - 2| / √(1+1)
d = | - 2 | / √(2) ----- como |-2| = 2, ficaremos com:
d = 2 / √(2) ------ para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(2). Assim ficaremos:

d = 2*√(2) / √(2)*√(2)
d = 2√(2) / √(2*2)
d = 2√(2) / √(4) ----------- como √(4) = 2, teremos:
d = 2√(2) / 2 ----- simplificando numerador e denominador por "2", temos:
d = √(2) u.m. <---- Esta é a resposta.  Esta é a distância do ponto O(0; 0) à reta x + y - 2 = 0. Observação: u.m. = unidades de medida.

É isso aí.l
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.