Question

Qual deve ser o valor do número natural  n para que (  √¯540 / n )  seja um número inteiro, o maior possível ?


ALGUÉM ME AJUDA, POR FAVOR ! 

Answer 1

Olá, Dominique.

 

Vamos, primeiramente, fatorar o número 540:

 

$<var>540|2\\ 270|2\\ 135|3\\ 45|3\\ 15|3\\ 5|5\\ 1\\\\ \Rightarrow 540=2^2 \cdot 3^3 \cdot 5</var>$

 

Para que  $<var>\sqrt{\frac{540}{n}}</var>$  seja o maior inteiro possível, o valor de  $<var>n</var>$  deve ser tal que

 

 $<var>\frac{540}n</var>$  seja o maior quadrado perfeito possível.

 

Assim, o valor de  $<var>n</var>$  deve ser um número natural tal que, após o inserirmos no denominador da fração e efetuarmos os cancelamentos dos fatores iguais, sobre o maior quadrado perfeito possível.

 

O maior quadrado perfeito possível contido na fatoração de 540 é  $<var>2^2 \cdot 3^2</var>$.

 

Portanto, devemos ter:

 

$<var>n=3 \cdot 5 \Rightarrow \boxed{n=15}</var>$

 

Assim:

 

$<var>\sqrt{\frac{540}{n}}=\sqrt{\frac{2^2 \cdot 3^3 \cdot 5}{3\cdot 5}}=\sqrt{2^2\cdot3^2}=2\cdot 3=6</var>$

 

6 é, portanto, o maior número inteiro possível que  $<var>\sqrt{\frac{540}{n}}</var>$  pode ser.

 

Resposta: $<var>\boxed{n=15}</var>$