Question

Qual dessas afirmações está correta?

Answer 1

Resposta: Alternativa (2).

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = g(x) \: . \: (2x^{3} - 9x + 4) \\ \sf \begin{cases} \sf g ' (x) > 0 \: \: e \: \: g ''(x) > 0\end{cases}$

A partir destas informações a questão pede para julgarmos algumas alternativas.

• Alternativa a)

Esta alternativa nos diz que a função f(x) é crescente em R. Para isso vamos utilizar as seguintes afirmações conhecidas:

$\begin{cases} \sf f'(x) > 0 \: \to \: crescente \: \: \: \: \\ \sf f'(x) < 0 \: \to \: decrescente \end{cases}$

Portanto vamos derivar a função f(x) uma vez e desconsiderar a função g(x), já que sabemos que a sua derivada é maior que 0 e não vai mudar nada no cálculo em si.

$\sf f(x) = 2x {}^{3} - 9x + 4 \: \: \to \: \: f'(x) = 6x {}^{2} - 9 \\ \\ \sf f'(x) > 0 \: \: \to \: \: 6x {}^{2} - 9 > 0$

Para determinar o valor desta inequação devemos encontrar primeiro as raízes da função quadrática e plotar estas informações no gráfico.

$\sf 6x {}^{2} - 9 = 0 \: \: \to \: \: 6x {}^{2} = 9 \: \: \to \: \: x {}^{2} = \frac{9}{6} \\ \\ \sf x = \pm \sqrt{ \frac{9}{6} } \: \: \to \: \: \boxed{\sf x = \pm \sqrt{ \frac{3}{2} } }$

Pelo gráfico anexado na resposta, podemos ver que de infinito negativo até -√3/2 a função é crescente, de -√3/2 até √3/2 a função é decrescente e de √3/2 a infinito positivo volta a ser negativa, portanto temos que a função é crescente nos intervalos:

$\underbrace{ \sf \left( - \infty, - \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) \: \: e \: \: \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} , + \infty \right )}_{ \sf crescente}$

Portanto temos que a alternativa a está errada.

• Alternativa b)

A função possui concavidade para cima no intervalo de (0, +∞). Para fazer essa verificação vamos utilizar as seguintes afirmações:

$\begin{cases} \sf f''(x) > 0 \: \to \: concavidade \: p /cima \\ \sf f''(x) < 0 \: \to \: concavidade \: p/baixo \end{cases}$

Vamos derivar mais uma vez a função e testar.

$\sf f'(x) = 6x ^{2} - 9 \: \: \to \: \: f''(x) = 12x \\ \\ \sf f''(x) > 0 \: \: \to \: \: 12x > 0 \: \: \to \: \: x > 0 \\ \\ \sf f''(x) < 0 \: \: \to \: \: 12x < 0 \: \: \to \: \: x < 0$

Portanto temos que a concavidade é dada por:

$\sf (0, + \infty ) \: \to \: concavidade \: p/cima \\ \sf ( - \infty , 0) \: \to \: concavidade \: p/baixo$

Temos então que até agora a alternativa b) está correta.

• Alternativa c)

Esta alternativa está errada, o cálculo foi mostrado no cálculo da alternativa b).

• Alternativa d)

Para fazer o teste de máximo e mínimo basta substituir os pontos críticos na derivada segunda e observar o sinal do resultado.

$\begin{cases} \sf f '' (c) > 0 \: \to \: m \acute{i}nimo\\ \sf f''(c) < 0 \: \to m \acute{a}ximo \end{cases}$

Substituindo os pontos críticos temos:

$\sf f''(x) = 12x \: \: \to \: \: f '' \left( - \sqrt{ \frac{3}{2} } \right) = 12.\left( - \sqrt{ \frac{3}{2} } \right) \\ \sf f '' \left( - \sqrt{ \frac{3}{2} } \right) = -12 \sqrt{ \frac{3}{2} } < 0 \: \to \: m \acute{a}ximo \\ \\ \sf f''(x) = 12x \: \: \to \: \: f''\left( \sqrt{ \frac{3}{2} } \right) = 12\left( \sqrt{ \frac{3}{2} } \right) \\ \sf f '' \left( \sqrt{ \frac{3}{2} } \right) = 12 \sqrt{ \frac{3}{2} } > 0 \: \to \: m \acute{i}nimo$

Temos que esta alternativa está errada.

• Alternativa e)

Esta alternativa está errada como foi mostrado no cálculo da alternativa d).

Espero ter ajudado