Matemática, perguntado por clara3622, 10 meses atrás

Qual artifício matemático podemos usar para demonstrar a seguinte identidade trigonométrica? Demonstre

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Turing
2

Explicação passo-a-passo:

Podemos demonstrar essa identidade utilizando a Relação fundamental da trigonometria: sen^2x+ cos^2x= 1. Basta substituir o cos^2x por 1-sen^2x e o cos^4x por i-2sen^2x+sen^4x.

cos^4x+sen^4x+2sen^2xcos^2x=1\\1-2sen^2x+sen^4x + sen^4x + 2sen^2x(1-sen^2x)=1\\1-2sen^2x+sen^4x + sen^4x+2sen^2x-2sen^4x= 1\\1=1

c.q.d


clara3622: Obrigada!!
Respondido por Usuário anônimo
2

Para mostrar isso, é preciso primeiramente conhecer o seguinte produto notável:

\boxed{\mathsf{\big(a^2+b^2\big)^{\!2}=a^4+2a^2b^2+b^4}}

, que é uma pequena variação quando comparada à forma clássica do quadrado da soma de dois termos. Do enunciado, temos que a identidade trigonométrica é:

\mathsf{cos^{4}x+sen^{4}x+2\,sen^{2}x\,cos^{2}x=1}

Sendo assim, para demonstrar sua validade para todo número real x, basta fazer a² = sen²x e b² = cos²x na identidade algébrica acima (quadrado da soma de dois quadrados), e por último lembrar da identidade trigonométrica fundamental, que por sua vez é dada por sen²x + cos²x = 1. Procedendo tal como descrito anteriormente, obtém-se:

\mathsf{\qquad\ \ \ \:\,\big(\underbrace{\mathsf{sen^{2}x+cos^{2}x}}_{1}\big)^{\!2}=sen^{4}x+2\,sen^{2}x\,cos^{2}x+cos^{4}x}\\\\\\ \mathsf{\iff\ \ \ 1^2=sen^{4}x+2\,sen^{2}x\,cos^{2}x+cos^{4}x}\\\\\\ \mathsf{\iff\ \ \ 1=cos^{4}x+sen^{4}x+2\,sen^{2}x\,cos^{2}x}\\\\\\ \mathsf{\iff\ \ \ \boxed{\mathsf{cos^{4}x+sen^{4}x+2\,sen^{2}x\,cos^{2}x=1}}}

, como queríamos.


clara3622: Obrigada!!!!
Usuário anônimo: Por nada!
Usuário anônimo: :)
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