Question

Qual artifício matemático podemos usar para demonstrar a seguinte identidade trigonométrica? Demonstre

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Podemos demonstrar essa identidade utilizando a Relação fundamental da trigonometria: $sen^2x+ cos^2x= 1$. Basta substituir o $cos^2x$ por $1-sen^2x$ e o $cos^4x$ por $i-2sen^2x+sen^4x$.

$cos^4x+sen^4x+2sen^2xcos^2x=1\\1-2sen^2x+sen^4x + sen^4x + 2sen^2x(1-sen^2x)=1\\1-2sen^2x+sen^4x + sen^4x+2sen^2x-2sen^4x= 1\\1=1$

$c.q.d$

Answer 2

Para mostrar isso, é preciso primeiramente conhecer o seguinte produto notável:

$\boxed{\mathsf{\big(a^2+b^2\big)^{\!2}=a^4+2a^2b^2+b^4}}$

, que é uma pequena variação quando comparada à forma clássica do quadrado da soma de dois termos. Do enunciado, temos que a identidade trigonométrica é:

$\mathsf{cos^{4}x+sen^{4}x+2\,sen^{2}x\,cos^{2}x=1}$

Sendo assim, para demonstrar sua validade para todo número real x, basta fazer a² = sen²x e b² = cos²x na identidade algébrica acima (quadrado da soma de dois quadrados), e por último lembrar da identidade trigonométrica fundamental, que por sua vez é dada por sen²x + cos²x = 1. Procedendo tal como descrito anteriormente, obtém-se:

$\mathsf{\qquad\ \ \ \:\,\big(\underbrace{\mathsf{sen^{2}x+cos^{2}x}}_{1}\big)^{\!2}=sen^{4}x+2\,sen^{2}x\,cos^{2}x+cos^{4}x}\\\\\\ \mathsf{\iff\ \ \ 1^2=sen^{4}x+2\,sen^{2}x\,cos^{2}x+cos^{4}x}\\\\\\ \mathsf{\iff\ \ \ 1=cos^{4}x+sen^{4}x+2\,sen^{2}x\,cos^{2}x}\\\\\\ \mathsf{\iff\ \ \ \boxed{\mathsf{cos^{4}x+sen^{4}x+2\,sen^{2}x\,cos^{2}x=1}}}$

, como queríamos.