Question

qual a taxa nominal ao ano, capitalizada bimestralmente, que é equivalente à taxa nominal de 31,5% ao semestre, capitalizada quadrimestralmente?

Answer 1

Não podemos comparar taxas com capitalizações distintas, logo vamos começar determinando as taxas efetivas:

$\boxed{Taxa_{ef}~=~\frac{Taxa_{nom}}{Numero~de~Periodos~de~capitalizacao}}$

1ª taxa: Taxa anual com capitalização bimestral. Sabemos que 1 ano possui 6 bimestres, logo:

$\boxed{Taxa_{ef_1}~=~\frac{Taxa_{nom_{anual}}}{6}\,\%\,a.b}$

2ª taxa: Taxa semestral de 31,25% com capitalização quadrimestral. Sabemos que 1 semestre possui 1,5 quadrimestres, logo:

$Taxa_{ef_2}~=~\frac{31,5\%}{1,5}\\\\\boxed{Taxa_{ef_2}~=~\frac{125}{6}\,\%\,a.q}$

Vamos agora achar uma taxa equivalente a 125/6 % a.q, mas com capitalização bimestral.

$(1+Taxa_{bimestral})^{2~bimestres}~=~(1+Taxa_{quadrimesrtral})^{1~quadrimestre}\\\\\\(1+Taxa_{b})^{2}~=~\left(1+\frac{\frac{125}{6}}{100}\right)^{1}\\\\\\(1+Taxa_{b})~=~\sqrt{\frac{29}{24}}\\\\\\Taxa_b~=~1,0992-1\\\\\\\boxed{Taxa_b~=~0,0992~~ou~~9,92\%\,a.b}$

Podemos agora igualar as duas taxas efetivas, ja que ambas estão com mesmo tipo de capitalização.

$Taxa_{ef_1}~=~Taxa_{ef_2}\\\\\\\frac{Taxa_{nom_{anual}}}{6}\,\%\,a.b~=~9,92\,\%\,a.b\\\\\\Taxa_{nom_{anual}}~=~6~.~9,92\\\\\\\boxed{Taxa_{nom_{anual}}~=~59,52\%\,a.a~~com~capitalizacao~bimestral}$