Question

Qual a solução para a inequação |x-1|.(x+1).(x-2)<0

Answer 1

$|x-1|\cdot (x+1)\cdot (x-2)<0$


Se o produto é negativo, então a quantidade de fatores negativos deve ser ímpar.


Vamos eliminar o fator $|x-1|.$ Como para todo $x$ real, temos que

$|x-1|\geq 0$


e para esta inequação, devemos ter

$|x-1|\neq 0\;\;\Rightarrow\;\;x \neq 1,$


então, neste caso, temos que

$|x-1|>0$


Sendo assim, como nesta inequação o fator $|x-1|$ só pode ser positivo, o sinal deste fator não vai interferir no sinal do produto.


Dividindo os dois lados da inequação por $|x-1|,$ que é positivo, o sentido da desigualdade se mantém, e chegamos a

$(x+1)\cdot (x-2)<0$


Para que o produto seja negativo, apenas um dos fatores deve ser negativo. Temos dois casos a analisar:

$\bullet\;\;$ Caso 1: $x+1>0\;\;\text{ e }\;\;x-2<0$

$x>-1\;\;\text{ e }\;\;x<2\\ \\ -1<x<2$


$\bullet\;\;$ Caso 2: $x+1<0\;\;\text{ e }\;\;x-2>0$

$x<-1\;\;\text{ e }\;\;x>2\;\;\rightarrow\;\;\text{(absurdo)}$

Não é possível satisfazer o caso 2.


Então, a solução para a inequação-produto

$(x+1)\cdot (x-2)<0$

é

$\begin{array}{c}-1<x<2 \end{array}$


Combinando o resultado acima com a restrição de que $x \neq 1,$ o conjunto solução da inequação dada inicialmente é

$S=\{x \in \mathbb{R}\left|\,-1<x<1\;\text{ ou }\;1<x<2\right.\}$


ou em notação de intervalos,

$S=(-1;\,1)\cup(1;\,2)$