Question

Qual a solução dessa EQUAÇÃO EXPONENCIAL?

Answer 1

A solução desta equação exponencial é x = 1

$2*4^{x+2} -5*4^{x+1} -3*2^{2x+1} =24$  

Podemos transformar todos os termos de tal modo que apareçam quase

só potências de base 2

Como    4 = 2²     e     24 = 8 * 3 = 2³ * 3

$2*(2^2)^{(x+2)} -5*(2^2)^{x+1} -3*2^{(2x+1)} =24$

$2*2^{(2*(x+2))} -5*2^{(2*(x+1))} -3*2^{(2x+1)} =2^3*3$

$2^1*2^{(2x+4)} -5*2^{(2x+2)} -3*2^{(2x+1)} =2^3*3$

$2^{(2x+4+1)} -5*2^{(2x+2)} -3*2^{(2x+1)} =2^3*3$

$2^{(2x+5)} -5*2^{(2x+2)} -3*2^{(2x+1)} =2^3*3$

No primeiro membro da equação os três termos têm todos potências de

base 2.

Os expoentes são → ( 2x + 5 )  ;  (2x + 2 )  ;  ( 2x + 1 )

O menor expoente é   ( 2x + 1 ) .

Neste membro divide-se , todos os termos , por aquela potência de base

2, que tenha o menor expoente.

Vão são divididas por:

$2^{(2x+1)}$

Mas para não alterar o valor, tem que se, simultaneamente , multiplicar

pelo valor que se dividiu.

$2^{(2x+1)} *[\dfrac{2^{(2x+5)} }{2^{(2x+1)} } } ) -5*\dfrac{2^{(2x+2)} }{2^{(2x+1)} } -3*\dfrac{2^{(2x+1)} }{2^{(2x+1)} }] =2^3*3$  

Cálculos auxiliares

$\dfrac{2^{(2x+5)} }{2^{(2x+1)} } }=2^{(2x+5)-(2x+1)} =2^{(2x+5-2x-1)}=2^{(5-1)} =2^4$

$\dfrac{2^{(2x+2)} }{2^{(2x+1)} }=2^{(2x+2- (2x+1))} =2^{(2x+2- 2x-1)}=2^{(2-1)} =2^1=2$

$\dfrac{2^{(2x+1)} }{2^{(2x+1)} }=1$

Fim cálculos auxiliares

$2^{(2x+1)} *(2^4-5*2} } -3*1) =2^3*3$

$2^{(2x+1)} *(16-10} } -3) =2^3*3$

$2^{(2x+1)} *3 =2^3*3$

Dividindo ambos os membros por 3 ele "desaparece" .

$2^{(2x+1)} =2^3$

2x + 1 = 3

2x = 3 - 1

2x = 2

2x/2 = 2/2

x = 1

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Observação 1  → Potência de potência

Mantém-se a base, multiplicam-se os expoentes

Exemplo

$(2^2)^{(x+2)}= 2^{(2*(2x+2))} =2^{(2x+4)}$

Observação 2 → Multiplicação de potências com a mesma base

Mantém-se a base e somam-se os expoentes.

Exemplo

$2*2^{(2x+4)}=2^1*2^{(2x+4)}=2^{(2x+4+1)}=2^{(2x+5)}$

Observação 3 → Expoentes "escondidos "

Quando temos uma potência sem mostrar nenhum expoente, com

base diferente de zero, esse expoente é 1.

Os matemáticos para simplificar a escrita simbólica na

Matemática, indicam que expoente 1 não precisa de ser escrito.

Mas está lá para quando for necessário o usar.

Exemplo:

$2=2^1$  

Observação 4 → Divisão de potências com a mesma base

Mantém-se a base e subtraem-se -se os expoentes, pela ordem em que

aparecem.

Exemplo

$\dfrac{2^{(2x+5)} }{2^{(2x+1)} } }=2^{(2x+5)-(2x+1)}$

Observação 5 → Potências com bases iguais

Duas potências que tenham a mesma base , são iguais quando os seus

expoentes forem iguais entre si.

Exemplo

Se

$2^{(2x+1)} =2^3$

Então  

2x + 1 = 3

Observação 6 → Divisão de Potências iguais

O resultado é 1.

Exemplo

$\dfrac{2^{(2x+1)} }{2^{(2x+1)} }=1$

Bons estudos.

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( * ) multiplicação      ( / ) divisão

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.