Question

Qual a reta tangente a curva f(x) = 1/√x no ponto de abcissa x=1?

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Answer 1

Temos a seguinte curva:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \bullet \: \: \: f(x) = \frac{1}{ \sqrt{x} } \: \: \: \bullet$

Para encontrarmos a equação da reta tangente a esta curva, devemos determinar primeiramente a derivada desta curva, pois como sabemos, a derivada é simplesmente o coeficiente angular da reta tangente. Derivando a curva:

$\sf \frac{df(x)}{dx} = \frac{d}{dx} . \left(\frac{1}{ \sqrt{x} } \right) \: \: \to \: \: \frac{df(x)}{dx} = x {}^{ - \frac{1}{2} } \\ \\ \sf \frac{df(x)}{dx} = - \frac{1}{2} .x {}^{ - \frac{1}{2} - 1} \: \: \to \: \: \frac{df(x)}{dx} = - \frac{1}{2} .x ^{ - \frac{3}{2} } \\ \\ \boxed{\sf \frac{df(x)}{dx} = - \frac{ 1 }{2 \sqrt{x {}^{3} } } }$

Tendo feito isto, devemos agora substituir a informação de que a abscissa é 1 e assim descobrir o coeficiente angular numericamente.

$\sf \frac{df(x)}{dx} = - \frac{1}{2 \sqrt{1 {}^{3} } } \: \: \to \: \: \boxed{\sf\frac{df(x)}{dx} = - \frac{1}{2}}$

Para finalizar a questão, devemos encontrar o valor da ordenada quando x = 1, para isso, basta substituir o valor de x na função.

$\sf f(x) = \frac{1}{ \sqrt{x} } \: \: \to \: \: f(1) = \frac{1}{ \sqrt{1} } \: \to \: \: f(1) = 1$

Portanto temos que a ordenada é dada por y = 1. Utilizando este ponto P(1,1) e o coeficiente angular calculado pela derivada da curva, temos que:

$\sf y - y _{0} = \frac{dy}{dx} .(x - x_{0}) \: \to \: \sf y - 1 = - \frac{1}{2} .(x - 1) \\ \\ \sf y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \: \: \to \: \: y - 1 = - \frac{ x + 1}{2} \\ \\ \sf y = - \frac{x + 1}{2} + 1 \: \: \to \: \: y = \frac{ - x + 1 + 2}{2} \\ \\ \boxed{ \sf y = \frac{ 3 - x}{2} }$

Espero ter ajudado