Question

Qual a posição relativa entre as circunferências de equações x^2+y^2-2x=0 e x^2+y^2-2x-8y+8=0?Leitura Avançada
a) exteriores.
b) secantes.
c) tangentes internamente.
d) tangentes externamente.
e) concêntricas.

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Vamos começar relembrando as definições das posições relativas da circunferência:

• Circunferências externas:

Para que as circunferências possuam essa configuração, a distância entre os centros deve ser maior que a soma dos raios.

D > R + r

• Circunferências tangentes externas:

Para que as circunferências possuam essa classificação, a distância entre os centros de ambas devem ser igual a soma dos raios:

D = R + r

• Circunferências tangentes internas:

Para possui essa classificação, a distância entre os centros deve ser igual a diferença entre o maior raio e o menor:

D = R - r

• Circunferências secantes externas:

Essa é um pouco diferente, a distância entre os centros deve ser maior ou igual a diferença do maior raio e menor e ao mesmo tempo deve ser menor que a soma dos raios.

R - r < D < R + r

• Circunferências secantes internas:

É bem parecido com a externa, nesse caso a distância entre os centros deve ser maior ou igual a 0 e menor que a diferença dos raios.

0 ≤ D < R - r

Agora podemos começar os cálculos:

• Primeira equação:

Temos que:

$\sf{\boxed{x {}^{2} + y {}^{2} - 2x = 0}}$

Para resolver essa questão, devemos fazer a comparação da equação dada pela questão com a equação padrão geral.

$\large\begin{cases}\sf{x^{2} + y^{2} -2ax - 2by + k = 0}\\ \sf{onde:}\\ \sf{k = a^{2} + b^{2} - r^{2}}\end{cases}$

As comparação que faremos, serão entre os termos com "x" e "y" das equações.

• Abscissa (a):

Note que na mesma posição de -2ax temos -2x, então se estão na mesma posição, podemos estabelecer uma relação de igualdade:

$\sf - 2ax = - 2x\\ \sf a = \frac{ - 2x}{ - 2x} \\ \sf \boxed{\boxed{ a = 1}}$

• Ordenada (b):

Do mesmo jeito que fizemos anteriormente faremos essa comparação. Nesse caso não temos termos em "y" na equação fornecida pela questão, ou seja, o valor da ordenada é "0".

$\boxed{\sf{\boxed{b = 0}}}$

• Raio (r):

Para encontrar o raio devemos usar a relação do "k" que eu citei no começo da questão. O valor de "k" nessa equação é "0", então vamos substituir os valores e encontrar "r":

$\sf k = a { }^{2} + b {}^{2} - r {}^{2} \\ \sf 0 = (1) {}^{2} + (0) {}^{2} - r {}^{2} \\ 0 = 1 - r {}^{2} \\ \sf - 1 = - r {}^{2} ( - 1) \\ \sf r {}^{2} = 1 \\ \sf r = \sqrt{1} \\ \sf \boxed{r = 1}$

Finalizamos assim a primeira equação:

$\large{\sf C(1,0) \: \: \: r = 1}$

• Segunda equação:

Para encontrar o centro e raio, vamos seguir a mesma lógica do anterior:

$\boxed{ \sf x {}^{2} + y {}^{2} - 2x - 8y + 8 = 0}$

• Abscissa (a):

$\sf - 2ax = - 2x \\ \sf a = \frac{ - 2x}{ - 2x} \\ \sf \boxed{\boxed{a = 1}}$

• Ordenada (b):

$\sf- 2by = - 8y \\ b = \sf \frac{ - 8y}{ - 2y} \\ \sf \boxed{\boxed{b = 4}}$

• Raio (r).

Nesse caso o "k" será igual a "+8":

$\sf k = a {}^{2} + b {}^{2} - r {}^{2} \\ \sf \:8 = (1) {}^{2} + (4) {}^{2} - r {}^{2} \\ \sf 8 = 1 + 16 - r {}^{2} \\ \sf 8 = 17 - r {}^{2} \\ \sf 8 - 17 = - r {}^{2} \\ \sf - 9 = - r {}^{2} .( - 1) \\ \sf r = \sqrt{9} \\ \sf \boxed{ R = 3}$

Finalizando assim a segunda equação:

$\large\sf C(1,4) \: \: r = 3$

Ainda não acabou ksks, como eu citei as definições no começo, devemos calcular a distância entre os centros para assim saber a classificação dessas circunferências.

Organizando os dados:

$\sf{C(1,0) \rightarrow} x_1 = 1 \: \: \: \: y_1 = 0 \\ \sf C(1,4) \rightarrow x_2 = 1 \: \: \: y_2 = 4$

$\boxed{ \sf{D_{c_1 ,c_2} = \sqrt{(x_2 - x_1) {}^{2} + (y_2 -y_1) {}^{2} }}}$

Calculando:

$\sf \: D_{c_1 ,c_2} = \sqrt{(x_2 - x_1) {}^{2} + (y_2 -y_1) {}^{2} } \\ \sf \: D_{c_1 ,c_2} = \sqrt{(1 -1) {}^{2} + (4 -0) {}^{2} } \\ \sf \: D_{c_1 ,c_2} = \sqrt{(0) {}^{2} + (4) {}^{2} } \\ \sf D_{c_1 ,c_2} = \sqrt{16} \\ \boxed{ \sf D_{c_1 ,c_2} = 4 \: u.c}$

A distância foi igual a "4", agora vamos analisar de acordo com a soma dos raios:

$\boxed{\sf D = R + r} \\ 4 = (3 + 1) \\ 4 = 4$

Como a distância entre os centros foi igual a soma dos raios, temos que são circunferências tangentes externas.

Resposta: letra d).

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️