Question

Qual a posição relativa entre a reta r : 4x + 3y = 0 e a circunferência
X + y + 5x - 7y – 1 = 0

Answer 1

x² + y² + 5x - 7y - 1 = 0  e 4x + 3y = 0
Equação geral
x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r² = =
-2a = 5 => a = -5/2
-2b = -7 => b = 7/2
C(-5/2, 7/2)
Distância do centro à reta
$d= \frac{|axC+byC+k|}{ \sqrt{a^2+b^2} } \\ d= \frac{|4.(- \frac{5}{2})+3. \frac{7}{2}+0| }{ \sqrt{4^2+3^2} } =\ \textgreater \ d= \frac{|-10+ \frac{21}{2}| }{ \sqrt{25} }=\ \textgreater \ d= \frac{| \frac{1}{2}| }{5}=\ \textgreater \ d= \frac{1}{10} \\ a^2+b^2-r^2=-1=\ \textgreater \ \frac{25}{4} + \frac{49}{4} -r^2=-1=\ \textgreater \ r^2=1+ \frac{74}{4} \\ r^2= \frac{78}{4} =\ \textgreater \ r= \frac{ \sqrt{78} }{2} =\ \textgreater \ r \ \textgreater \ d$

Como o raio da circunferência é menor que a distância do centro à reta, conclui-se que a reta é secante à circunferência. ( A reta corta a circunferência em dois pontos).

Answer 2

Como a intersecção da reta e da circunferência possui dois pontos distintos, a posição relativa é secante.

Qual a posição relativa entre a reta e a circunferência?

Uma forma de determinar a posição relativa entre uma reta e uma circunferência é analisar quantos pontos existe na intersecção dessas curvas. Temos três casos possíveis:

• Intersecção vazia: nesse caso a reta é externa à circunferência.
• Um ponto na intersecção: a reta é tangente à circunferência.
• A intersecção é formada por dois pontos distintos: nesse caso, a reta é secante à circunferência.

Considerando o sistema de equação formada pela equação da reta e da circunferência, podemos isolar o valor de y da equação da reta e substituir na equação da circunferência:

$y = -4x/3$

$x^2 + (-4x/3)^2 +5x -7(-4x/3) - 1=0$

$(25/9)x^2 + (43/3)x -1 =0$

Analisando o valor de delta da equação de segunda grau obtida, temos que:

$(43/3)^2 - 4*(25/9)*(-1) >0$

Podemos concluir que a equação possui duas soluções distintas, portanto, existem dois pontos distintos na intersecção da reta e da circunferência, ou seja, a reta é secante à circunferência.

Para mais informações sobre reta e circunferência, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/50314550

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