Question

Qual a Posição relativa entre a reta de equacao R:x-y+6=0 e a circunferencia x²+y²-8y+14=0

Answer 1

Basta resolver como um sistema:
$\left \{ {{y=x+6} \atop {x^2+y^2-8y+14=0}} \right.$
Substituindo a 1ª equação na 2ª temos:
$x^2+(x+6)^2-8(x+6)+14=0 \\ x^2+x^2+12x+36-8x-48+14=0 \\ 2x^2+4x+2=0 \\ x^2+2x+1=0 \\ x=-1 e y=5$.
Como encontramos apenas uma solução para o sistema, a posição relativa entre a reta e a circunferência é TANGENTE.
Não é necessário usar a formula resolutiva, pois $x^2+2x+1=0 \\ (x+1)^2=0 \\ x+1=0 \\ x=-1$, apenas fatorando o trinômio do 2º grau. Ou ainda, Utilizando a soma e produto das raízes, pois a equação é do tipo $x^2-Sx+P=0$, onde S é a soma das raízes com o sinal trocado e o P é o produto das raízes, logo a sua equação tem S=-2 e P=1. Os únicos números que satisfazem a essa condição são -1 e -1.
Mas, se você prefere $\Delta=b^2-4ac=2^2-4.1.1=0 \\ x= \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{-2\pm\sqrt{0}}{2.1}=-1$