Question

Qual a maior potência de 104 que divide 1000!?

Answer 1

Primeiro observe que $104=2^3\times13$. Para que um número seja divisível por $104$ esse número deve ser divisível por $8=2^3$ e por $13$

Note que no produto $1000!=1000\times999\times998\times\dots2\times1$ há mais múltiplos de $8$ que múltiplos de $13$. Desse modo, para determinar a maior potência de $104$ que divide $1000!$ basta contar a quantidade de fatores $13$ que existem em $1000!$

De $1$ até $1000$ temos $76$ múltiplos de $13$, pois $1000=13\times76+12$. Por outro lado, cada múltiplo de $169=13^2$ contém $2$ fatores $13$. De $1$ até $1000$ há $5$ múltiplos de $169$, já que $1000=5\times169+155$

Assim, há $76+5=81$ fatores $13$ em $1000!$ e, portanto, a resposta é $104^{81}$