Question

qual a integral indefinida ∫ (x+1)/x dx

Answer 1

De acordo com os dados do enunciado e realizados os cálculos concluímos que a integral indefinida é:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int \dfrac{x + 1}{x} \: dx = x + \ln|x| + C } }$

Uma função $\boldsymbol{ \textstyle \sf F }$ é uma antiderivada de uma função $\boldsymbol{ \textstyle \sf f }$ em um dado intervalo aberto se $\boldsymbol{ \textstyle \sf F'(x) = f(x) }$ em cada x do intervalo. É chamada de integrais indefinidas.

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ \int f(x) \: dx = F(x) ~~significa~~ F'(x) = f(x) } }$

Exemplo:

A função $\boldsymbol{ \textstyle \sf F (x) = \dfrac{x^3}{3} }$ é uma antiderivada de $\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x) = x^2 }$ no intervalo $\boldsymbol{ \textstyle \sf (-\: \infty, +\:\infty) }$ porque, em cada $\boldsymbol{ \textstyle \sf x }$ desse intervalo, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ F'(x) = \dfrac{d}{dx} \: \left[ \dfrac{x^3}{y3} +C\right] = x^2 = f(x) } }$

A integral de $\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x) }$ em relação a $\boldsymbol{ \textstyle \sf x }$ é igual a $\boldsymbol{ \textstyle \sf F(x) }$ mais uma constante.

Algumas propriedades para resolver esta solução:

$\Large \displaystyle \mathsf{ \bullet \quad \int \:dx = x +C }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \bullet \quad \int x^n \:dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} +C \quad ( n \neq -\; 1) } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \bullet \quad \int \dfrac{1}{x} \:dx = \ln| x| +C } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \bullet \quad \int \left[ f(x) +g(x) \right] \:dx = F(x) + G(x) +C }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int \dfrac{x + 1}{x} \: dx } }$

Para resolução, devemos aplicar algumas propriedade.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int \dfrac{x + 1}{x} \: dx = \int \left( \dfrac{x}{x} + \dfrac{1}{x} \right) \: dx = \int \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) \: dx } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int \dfrac{x + 1}{x} \: dx = \int1\: dx + \int \dfrac{1}{x}\: dx } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int \dfrac{x + 1}{x} \: dx = x +C' + \ln|x| +C'' } }$

Observação:

$\Large \displaystyle \mathsf{C = C'+C'' }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \int \dfrac{x + 1}{x} \: dx = x + \ln|x| +C }$

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