Question

Qual a integral de (x+1)cos2xdx?

Answer 1

Por integração por partes, temos genericamente que

$\int\limits {fg'} \, dx = fg - \int\limit {f'g} \, dx$

É intuitivo dizer que a derivada de x+1 é 1 :p.

A derivada de g é o próprio cos(2x). Porém, para aplicar a integração por partes, temos que de achar sua antiderivada, ou seja, a integral. Creio que para que este problema não convém o cálculo dessa integral em específico, mas ela pode ser calculada facilmente por substituição.

$\int\limit {\cos{2x}} \, dx = \frac{\sin{2x}}{2}$

Logo, aplicando à equação,

$\frac{1}{2}\sin \left(2x\right)\left(x+1\right)-\int \frac{1}{2}\sin \left(2x\right)dx$.

Agora resolvendo o termo da direita. Farei por substituição. Considere n = 2x:

$\frac{1}{4} \int\limits \sin{n} \, dx=\frac{-\cos{n}}{4}=\frac{-\cos{2x}}{4}$.

Voilà, resolvemos a integral:

$\frac{1}{2}\sin \left(2x\right)\left(x+1\right)+\frac{1}{4}\cos \left(2x\right)+C$.

Espero ter ajudado.