Question

qual a forma trigonométrica de Z4 =√3- i

Answer 1

Temos o seguinte número complexo:

$\sf z_4 = \sqrt{3} - i$

Sabemos que em um complexo na sua forma algébrica (z = a + bi) possui um número real (sem a letra "i") e um número imaginário (acompanha a letra "i"), portanto para começar vamos identificá-los:

$\sf z_4 = \sqrt{3} - 1i \rightarrow \begin{cases} \sf \underbrace{ a = \sqrt{3}}_{real} \\ \sf \underbrace{b = - 1} _{imagin \acute{a}rio}\end{cases}$

Para chegarmos na forma trigonométrica temos que antes encontrar o módulo e o argumento.

• Módulo.

Representa a distância da origem do plano de Argand-Gauss até o afixo (coordenada), dado pela fórmula:

$\sf \rho = \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} }$

Substituindo os dados:

$\sf \rho = \sqrt{( \sqrt{3)} {}^{2} + ( - 1) {}^{2} } \\ \sf \rho = \sqrt{3 + 1 } \\ \sf \rho = \sqrt{4} \\ \sf \rho = 2$

• Argumento:

É o ângulo formado em relação ao eixo "x", pode ser calculado através das relações seno e cosseno:

$\sf sen \theta = \frac{b}{ \rho} \: \: \: \: e \: \: \: \: cos \theta = \frac{a}{ \rho}$

Substituindo os dados:

$\sf sen \theta = \frac{ - 1}{2} = \sf - \frac{1}{2} \\ \\ \sf cos \theta = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Agora devemos encontrar o ângulo que possui o seno igual a -1/2 e o cosseno igual a √3/2, certamente esse ângulo não está no primeiro, segundo e terceiro quadrante, pois o seno é positivo apenas no primeiro e segundo e o cosseno é negativo no segundo e terceiro e não é k que possuímos, ou seja, o ângulo está em um intervalo de 2π/3 < θ < 2π, normalmente quem possuiria o seno igual a 1/2 e o cosseno igual a √3/2 seria o ângulo de 30°, portanto vamos encontrar o seu correspondente no quarto quadrante através de simetria.

$\sf (2\pi - \alpha ) \rightarrow \begin{cases} \sf \alpha = 30 {}^{ \circ} \therefore \frac{\pi}{6} \end{cases} \\ \\ \sf 2\pi - \frac{\pi}{6} \Longrightarrow \frac{12\pi - \pi}{6} = \boxed{\sf\frac{11\pi}{6} \: \: ou \: \: 330 {}^{ \circ} }$

Tendo descoberto o ângulo vamos para a forma trigonométrica.

• Forma trigonométrica:

Essa fórmula é dada por:

$\sf z = \rho(cos \theta + i sen \theta)$

Substituindo os dados:

$\sf z_4 = 2 \left(cos \frac{11\pi}{6} + isen \frac{11\pi}{6} \right) \\ \\ \sf ou \\ \\ \sf z = 2(cos330 {}^{ \circ} + isen330 {}^{ \circ} )$

Espero ter ajudado