Question

Qual a expressão que representa o número que ocupa a posição n na sequencia numérica: 2,5,10,17,26....n

Answer 1

Seja $\mathsf{(a_k)}$  a sequência numérica dada por

    $\mathsf{(a_k)=(2,\,5,\,10,\,17,\,26,\,\ldots)}$

com $\mathsf{k\in \{1,\,2,\,3,\,\ldots\}.}$

Vamos definir uma sequência auxiliar $\mathsf{(b_k),}$  cujos termos são dados pelas diferenças entre dois termos consecutivos da sequência inicial $\mathsf{(a_k),}$  ou seja

    $\mathsf{b_k=a_{k+1}-a_k,\qquad com~k\in\{1,\,2,\,3,\,\ldots\}}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad (b_k)=(a_2-a_1,\,a_3-a_2,\,a_4-a_3,\,a_5-a_4,\,\ldots)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad (b_k)=(5-2,\,10-5,\,17-10,\,26-17,\,\ldots)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad (b_k)=(3,\,5,\,7,\,9,\,\ldots)}$

Perceba que $\mathsf{(b_k)}$ é uma progressão aritmética cujo primeiro termo é $\mathsf{b_1=3,}$  e a razão é $\mathsf{r=2.}$  Logo, a fórmula do termo geral de

    $\mathsf{b_k=b_1+(k-1)\cdot r}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad b_k=3+(k-1)\cdot 2}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad b_k=3+2k-2}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad b_k=2k+1\qquad com~k\in\{1,\,2,\,3,\,\ldots\}}$

Escrevendo os termos dessa sequência,

    $\begin{array}{llrcl} \mathsf{\Longleftrightarrow\quad}&\mathsf{a_2-a_1}&\!\!=\!\!&\mathsf{3}\\ &\mathsf{a_3-a_2}&\!\!=\!\!&\mathsf{5}\\ &\mathsf{a_4-a_3}&\!\!=\!\!&\mathsf{7}\\ &\mathsf{a_5-a_4}&\!\!=\!\!&\mathsf{9}\\ &\vdots\\ &\mathsf{a_{k+1}-a_k}&\!\!=\!\!&\mathsf{2k+1} \end{array}$

Some todas as igualdades acima membro a membro. Do lado esquerdo, haverá vários cancelamentos de termos opostos restando apenas $\mathsf{-a_1+a_{k+1}.}$  O lado direito é a soma dos k primeiros termos de $\mathsf{(b_k).}$ Assim, obtemos

     $\mathsf{-a_1+a_{k+1}=\dfrac{(b_1+b_k)\cdot k}{2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad -2+a_{k+1}=\dfrac{(3+(2k+1))\cdot k}{2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad -2+a_{k+1}=\dfrac{(2k+4)\cdot k}{2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad -2+a_{k+1}=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot (k+2)\cdot k}{\diagup\!\!\!\! 2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad -2+a_{k+1}=(k+2)\cdot k}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad a_{k+1}=(k+2)\cdot k+2}$

e portanto,

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad a_k=(k+1)\cdot (k-1)+2}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad a_k=(k^2-1)+2}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad a_k=k^2+1\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

com $\mathsf{k\in\{1,\,2,\,3,\,\ldots\}.}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)