Question

qual a distancia entre o circuncentro e o baricentro do triangulo

Answer 1

Com a definição de circuncentro e baricentro, temos que a distância entre ambos é dada por

$x^2=R^2-\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{9}$

Triângulos

Circuncentro: Ponto onde se interceptam as três mediatrizes de um triângulo. Equidista dos três vértices do triângulo. É o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Baricentro: Ponto onde se interceptam as três mediana de um triângulo.

Tomando um triângulo $\Delta ABC$ qualquer onde R e r são  raios da circunferência circunscrita e inscrita e O o circuncentro, AB = c, AC = b, BC = a e G o baricentro. Vamos chamar OG de x e prolongar BG até que intercepte AC em N e a circunferência no ponto P. Teremos a seguinte relação:

$R^2-x^2=BG.PG$

Observação:

$BN=m=\dfrac{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}{2}$

Pelas proporções do baricentro, temos:

$\:\begin{cases}BG=\dfrac{2m}{3}&\\\\ GN=\dfrac{m}{3}&\end{cases}$

Daí,

$R^2-x^2=\dfrac{2m}{3}\cdot \left(\dfrac{m}{3}+PN\right)$

$\dfrac{b^2}{4}=m\cdot PN$

$PN=\dfrac{b^2}{4m}\Rightarrow R^2-x^2=\dfrac{2m^2}{9}+\dfrac{2m}{3}\cdot \dfrac{b^2}{4m}\Rightarrow R^2-x^2=\dfrac{2m^2}{9}+\dfrac{b^2}{6}$

$R^2-x^2=\dfrac{2}{9}\cdot \dfrac{\left(2\left(a^2+c^2\right)-b^2\right)}{4}+\dfrac{b^2}{6}\Rightarrow R^2-x^2=\\\\\\\\=\dfrac{\left(2a^2+2c^2-b^2\right)}{18}+\dfrac{b^2}{6}\Rightarrow R^2-x^2=\dfrac{\left(2a^2+2c^2-b^2\right)+3b^2}{18}$

$x^2=R^2-\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{9}$

Observação

$R^2=\dfrac{\left(abc\right)^2}{16p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$

Saiba mais sobre circuncentro e baricentro:https://brainly.com.br/tarefa/3830911

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