Question

qual a distância entre o centro da circunferência λ: x²+y²-6x+4y+4 = 0 e a reta r: 3x-4y+7 = 0​

Answer 1

A partir dos devidos cálculos realizados, chegamos na conclusão de que a distância entre o centro da circunferência λ e reta ré de d = 2.

Seja $\textstyle \sf \sf \lambda$ uma circunferência de centro $\textstyle \sf \sf C ( x_C , y_C)$ e raio R e s de uma de equação $\textstyle \sf \sf ax +by + c = 0$. A distância entre C e s é dada pela expressão:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{d_{C,r} = \dfrac{\mid ax_C +by_C+c \mid}{ \sqrt{ a^{2} +b^{2} } } } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf \lambda: x^{2} + y^{2} -6x +4y +4 = 0 \\ \sf r: 3x -4y +7 = 0 \\ \sf d_{\lambda, r} = \:? \end{cases} } }$

Solução:

Sendo $\textstyle \sf \sf C ( x_0, y_0)$ o centro da circunferência, devemos comparar x² +y² = r² e equação da reta ax +by +c  = 0.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} +y^{2} -6x +4y + 4 = 0 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ (x^{2}-6x +9) + (y^{2} +4y +4) = - \diagup\!\!\!{ 4} +9 + \diagup\!\!\!{ 4} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ (x^{2}-6x +9) + (y^{2} +4y +4) =9 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ (x-3)^2 + (y +2)^2 =3 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf C( -3, 2) \\ \sf a = 3 \\ \sf b = -4 \\\sf c = 7 \end{cases} } }$

Cálculo da distância de C a r:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{d_{C,r} = \dfrac{\mid ax_C +by_C+c \mid}{ \sqrt{ a^{2} +b^{2} } } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{d_{C,r} = \dfrac{\mid 3 \cdot (-3) +(-4) \cdot 2+ 7\mid}{ \sqrt{ 3^{2} +(-4)^{2} } } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{d_{C,r} = \dfrac{\mid -9 -8+ 7\mid}{ \sqrt{ 9+16} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{d_{C,r} = \dfrac{\mid -17+ 7\mid}{ \sqrt{ 25} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{d_{C,r} = \dfrac{\mid -10\mid}{ 5 } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{d_{C,r} = \dfrac{10}{ 5 } } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf d_{C,r} = 2 }$

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