Question

Qual a diferença entre a maior e a menor raiz da equação y^4 -6y^2+8=0

Answer 1

A diferença entre a maior e a menor raiz da equação dada é igual a 4.

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aghata55, essa é uma equação biquadrada. Podemos resolvê-la por intermédio de um artifício; substituindo y² = k (k é uma variável auxiliar):

$\sf y^4-6y^2+8=0$

$\sf(y^2)^2-6y^2+8=0$

$\sf k^2-6k+8=0$

ﾠ

Resolvendo para k, encontra-se:

$\sf k^2-2k-4k+8=0$

$\sf k(k-2)-4(k-2)=0$

$\sf(k-2)(k-4)=0$

$\sf k-2=0\vee k-4=0$

$\sf k_1=2\vee k_2=4$

ﾠ

Assim, substituindo de volta k₁,₂ = y², resolva para y:

$\left[\begin{array}{ll}\sf k_1=y^2\\\vee\\\sf k_2=y^2\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{ll}\sf y^2=2\\\vee\\\sf y^2=4\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{ll}\sf |y|=\sqrt{2}\\\vee\\\sf |y|=\sqrt{4}\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{ll}\sf y=\pm~\sqrt{2}\\\vee\\\sf y=\pm~2\end{array}\right.$

ﾠ

Portanto, y = ± √2 ou y = ± 2. Veja que:

$\large\text{ \sf \textsf{------}\!\!\!\!\:\!\!\!\underset{-\,2~}{|}\!\!\!\!\!\:\textsf{------}\!\!\!\:\!\!\!\!\underset{-\sqrt{2}\,\,}{|}\!\!\!\!\!\textsf{------------}\textsf{------}\!\!\!\!\!\:\underset{\sqrt{2}\,\,}{|}\!\!\!\!\!\:\textsf{------}\!\!\:\underset{2}{|}\!\!\textsf{------}\!\!\!\blacktriangleright }$

A maior raiz é y = 2, e a menor é y = - 2. Logo,

$\sf 2-(-\,2)=2+2=4$

A diferença entre a maior e a menor raiz dessa eq. é igual a 4.

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.