Question

Qual a derivada de f(x)=tg^3.2x-sec^3.2x?

Answer 1

Vou considerar: $f(x) = tg^3(2x)-sec^3(2x)$

Podemos fazer a derivada separada dessa função:
A derivada de $tg^3(2x)$ e $sec^3(2x)$ e depois juntar as duas.

1 - Vamos começar com $tg^3(2x) dx$

Podemos escrever ela como: $tg(2x).tg^2(2x) dx$ e derivar pela regra do produto.
Regra do produto: $(g.h)' = g'h + gh'$

Utilizando a regra do produto:
$[tg(2x).tg^2(2x)]' = [tg(2x)]'tg^2(2x) + tg(2x)[tg^2(2x)]'$

Aqui temos algumas derivadas imediatas, como é o caso da derivada de tg(x). Derivadas imediatas sempre constam em livros, normalmente nas últimas páginas sempre dão uma lista de derivadas imediatas.

Temos que a derivada de tg(x) é
 $y = tg(x) \\ y' = sec^2(x)$
Já a derivada de tg(2x), precisamos utilizar a regra da cadeia:
$y = tg(2x) \\ y'=2sec^2(2x)$
Utilizaremos a regra da cadeia também para derivar
$tg^2(2x)$
sabendo que podemos escrevê-la como:
$[tg(2x)]^2$

Logo a derivada da primeira função fica:

$[tg(2x).tg^2(2x)]' = 6tg^2(2x)sec^2(2x)$

2- A segunda função $sec^3(2x)$

Utilizando o mesmo raciocínio da primeira, podemos escrever a função como:
$sec(2x)sec^2(2x)$

Novamente recorrendo as derivadas imediatas, temos que:
$y = sec(x) \\ y'=sec(x)tg(x) \\ \\ y=sec(2x) \\ y'=2sec(2x)tg(2x)$

Logo
$[sec^3(2x)]' = 6tg(2x)sec^3(2x)$

3 - Unindo as duas derivadas que achamos para achar a derivada da função f(x):

$f(x) = tg^3(2x)-sec^3(2x) \\ f'(x) = 6tg^2(2x)sec^2(2x) - 6tg(2x)sec^3(2x)$


Meu conselho é você dar uma olhada nas derivadas imediatas, e tentar provar elas. Ficaria muito grande se eu tentasse explicar tudo para você aqui, até pq estas derivadas requerem um conhecimento das identidades trigonométricas.