Question

Qual a derivada de f(x)=sec²x+tg²x?

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \sec {}^{2} (x) + \tg {}^{2} (x)$

Observe que temos uma função composta, ou seja, devemos aplicar a regra da cadeia:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}. \frac{du}{dx} }$

Para facilitar o entendimento, vamos normear as funções, pois quando formos aplicar a regra da cadeia ficará melhor na hora de substituir.

$z = u {}^{2} \: \: e \: \: u = \sec(x) \\ w = t {}^{2} \: \: e \: \: t = \tg(x) \: \: \:$

Aplicando a regra da cadeia:

$\frac{dz}{dx} = \frac{d}{du} u {}^{2} . \frac{d}{dx} ( \sec(x)) \: \: e \: \: \frac{dw}{dx} = \frac{d}{dt} t {}^{2} . \frac{d}{dx} ( \tg(x)) \\ \\ \frac{dz}{dx} = 2u.( \sec(x). \tg(x)) \: \: e \: \: \frac{dw}{dx} = 2t. \sec {}^{2} (x) \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo essas informações, temos que:

$\frac{dy}{dx} = 2u.( \sec(x). \tg(x)) + 2t. \sec {}^{2} (x)$

Repondo as funções que representam u e t:

$\frac{dy}{dx} = 2. \sec {}^{} (x).( \sec(x). \tg(x)) + 2. \tg(x). \sec {}^{2} (x) \\ \\ \frac{dy}{dx} = 2. \sec {}^{2} (x). \tg(x) + 2. \tg(x). \sec {}^{2} (x) \\ \\ \boxed{ \frac{dy}{dx} = 4. \tg {}^{2}(x) . \sec {}^{2} (x)}$

Espero ter ajudado