Question

Qual a derivada da função:
$f(x)=ln(\sqrt{3x+1})$

Quero ver o passo a passo, por favor.

Answer 1

Aqui utilizaremos o fato conhecido de $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$ e alguns resultados de logaritmo que devem ser de conhecimento geral.

$f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{ln((3(x+h)+1)^{1/2})-ln((3x+1)^{1/2})}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{ln(\frac{3x+1+3h}{3x+1})}{2h}=$

$\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{3(3x+1)ln(1+\frac{3h}{3x+1})}{3\cdot 2(3x+1)h}=$

$\lim\limits_{\frac{3h}{3x+1}\rightarrow 0}\frac{3ln((1+\frac{3h}{3x+1})^{^{\frac{3x+1}{3h}}})}{2(3x+1)}\Rightarrow$

$f'(x)=\frac{3ln(e)}{2(3x+1)}\Rightarrow$

$f'(x)=\frac{3}{2(3x+1)}$.

Qualquer dúvida estou pronto a corrigir o texto para adicionar resultados.