Question

Qual a coordenada polar equivalente a dxdy

Answer 1

Resposta:

Olá,tudo bem?

Coordenadas Polares

Um ponto P = (x, y) do plano fica completamente determinado se

soubermos a distância r de P á origem O = (0, 0) e o ˆangulo

θ ∈ [0, 2π), medido no sentido anti-horário e a partir do semi-eixo

positivo das abcissas, entre este semi-eixo e a reta determinada por

P e por O. Definimos a seguinte transformação

x = r cos θ, y = r sen θ

onde r ≥ 0 e 0 ≤ θ < 2π. Esta transformação é chamada de

transformação de coordenadas polar, é injetora, e de classe C

1.

Temos o seguinte:

Mudança de variável

Teorema

Z ZB

f (x, y)dxdy =Z ZBr,θ

f (r cos θ,r sen θ)r drdθ

onde Br,θ é o conjunto B escrito em coordenadas polares.

Exemplo

Calcule

Z ZB

cos(x2 + y2)dxdy

onde B = {(x, y) ∈ R

2; x2 + y2 ≤ 1 }.

solução: Fazendo a mudança de variável x = r cos θ, y = r sen θ

temos que x

2 + y2 = r2

e que B em coordenadas polares é igual a

Br,θ = [0, 2π] × [0, 1].

Portanto

Z ZB

cos(x2 + y2)dxdy =Z ZBr,θ

cos(r2)rdrdθ=Z 2π0Z 10

cos(r2)rdrdθ = 2π12

sen (2)  

10= π sen (1)

Exemplo

Calcule

Z ZBxdxdy

onde B = {(x, y); x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ x, x2 + y2 ≤ 1}.

solução: Fazendo a mudança de coordenada x = r cos θ,

y = r sen θ e B em coordenadas polares é igual a

Br,θ = [0,π4] × [0, 1].

Portanto

Z Z B xdxdy =Z ZBr,θ

r cos θrdrdθ=Z π40Z 10r2

cos θdrdθ = sen θ

10=√26

Exemplo

Sejam a > 0 e b > 0 fixos. Mostre que á area da elípse

Ea,b = {(x, y) ∈ R

2;x2a2+y2b2≤ 1 }é πab.

solução: Temos que á area de Ea,b ´e

A(Ea,b) = Z Z

Ea,bdxdy

Agora, fazemos a mudança de variável

xa= r cos θ, yb= r sen θ

Exemplo

Calcule

Z ZBxdxdy

onde B = {(x, y); x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ x, x2 + y2 ≤ 1}.

solução: Fazendo a mudan¸ca de coordenada x = r cos θ,

y = r sen θ e B em coordenadas polares ´e igual a

Br,θ = [0,π4] × [0, 1].

Portanto

Z ZB xdxdy =Z Z

Br,θr cos θrdrdθ=Z π40Z 10r2

cos θdrdθ = sen θ

π410=√26

Exemplo

Sejam a > 0 e b > 0 fixos. Mostre que á area da elipse

Ea,b = {(x, y) ∈ R

2;x2a2+y2b2≤ 1 }é πab.

solução: Temos que á area de Ea,b é

A(Ea,b) = Z Z

Ea,bdxdy

Agora, fazemos a mudança de variável

x

a= r cos θ, y

b= r sen θ

Temos que esta mudança transforma Ea,b em Br,θ = [0, 2π] × [0, 1].

Como esta mudança é uma modificação das coordenadas polares

então na integral trocamos drdθ por abrdrdθ. Deste modo,

A(Ea,b) = Z Z

Ea,bdxdy =Z ZBr,θabrdrdθ= ab Z 2π0Z 10rdrdθ = πab

Espero ter  lhe ajudado :)