Question

Qual a área total de um paralelepípedo reto retângulo, cujas arestas estão em progressão geométrica, seu volume é 216 cm³ e a soma de suas dimensões é igual a 25 cm?

Answer 1

As informações que temos são:
-que o volume é 216cm³
-que a soma das dimensões resulta em 25cm

O volume de um paralelepípedo reto retângulo é dado por:
V=altura(a) x largura(b) x comprimento (c) = a.b.c

Então temos que:
216=a.b.c
25=a+b+c

Como as dimensões (arestas) estão em progressão geométrica, temos a menor dimensão multiplica por uma razão r nos da a segunda menor, e que novamente multiplicada pela razão nos dá a terceira dimensão:
consideramos a (altura) a menor dimensão, então:
b=a.r
c=a.r.r=a.r²

Agora que temos uma relação entre elas, usamos a equação do volume para obter uma relação de uma dimensão com a razão.
216=a.b.c
216=a.a.r.a.r²
216= a³.r³
Tirando a raiz cúbica nos dois lados, obtemos:
6=a.r
Então:
r=6/a

Usamos agora a equação da soma das dimensões:
25=a+b+c
25=a + a.r + a.r²
Substituindo r por 6/a:
25=a + a.6/a + a.(6/a)²
25=a + 6 + 36/a
Multiplicamos tudo por a:
25a=a² + 6a + 36
Temos então uma equação do segundo grau:
a² -19.a +36

aplicando báskara:
a= [19 +/- √(19² - 4.1.36)]/2.1
a= [19 +/- √(217)]/2
a=[19+/- 14,731]/2
a1≈2,135
a2≈16,865

As duas raízes são válidas. Se escolher a maior, a razão da progressão aritmética será menor que 1 (decrescente), se escolher a menor, a razão será maior que 1 (progressão crescente). Como adotamos a dimensão a com a menor, pegamos a menor raiz:
a=2,135cm
Descobrimos a razão:
r=6/a
r=6/2,135=2,81

Então achamos as outras dimensões:
b=a.r=2,135.2,81 ≈ 6cm
c=a.r²=2,1345.(2,811)² ≈ 16,865cm  (igual ao valor da maior raiz )

Conferindo se fecha o volume e a soma das dimensões:
V=2,135.6.16,865≈216cm³   (ok!)
Soma das dimensões= 2,135+6+16,865=25cm  (ok!)

Então seguimos adiante. É pedido a área total do paralelepípedo. A área é calculada por:
A(total)=2.a.b + 2.a.c + 2.b.c
A(total)=2.(a.b+a.c+b.c)
Substituindo os valores:
A(total)=2.(2,135.6 + 2,135.16,865 + 6.16,865)≈2.150
A(total)≈300cm² 

Espero ter ajudado =)