Matemática, perguntado por marianamoraes12357, 8 meses atrás

Qual a area entre y=x^2 e y=x+2. Encontrando o resultado da area multiplicar por 2

Soluções para a tarefa

Respondido por Stichii
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Temos as seguintes funções:

y = x {}^{2}  \:  \: e \:  \: y = x + 2

A primeira coisa que devemos encontrar para que possamos calcular a área formada entre essas duas funções são os pontos de interseção da mesma, já que esses pontos serão os limites de integração, isto é , de onde até onde integrar.

Para encontrar os pontos de intersecção basta igualar as duas funções e resolver:

x {}^{2}  = x  + 2 \longrightarrow x {}^{2}  - x - 2 = 0 \\  \begin{cases} x_1 =   2 \\x_2 =  - 1 \end{cases}

Portanto a nossa integral irá de -1 à 2. O próximo passo é montar a função que representa essa tal área, pelo que sabemos essa área é representada pela subtração da função acima pela função abaixo, então temos:

 \int\limits_{ - 1}^{2}x + 2 - x {}^{2} dx \\

Integrando a função sem os limites:

  \int x + 2 - x {}^{2}dx  =  \int xdx +  \int 2dx -  \int x {}^{2} dx \\ \\  \int xdx +  \int 2dx -  \int x {}^{2} dx =   \boxed{\frac{x {}^{2} }{2}  + 2x -  \frac{x {}^{3} }{3} \bigg |_{ - 1}^{2}}

Aplicando o Teorema fundamental do cálculo:

  \frac{(2){}^{2} }{2}  + 2.2 -  \frac{2 {}^{3} }{3} -  \left(  \frac{( - 1 ){}^{2} }{2} + 2.( - 1) -  \frac{( - 1) {}^{3} }{3}  \right)  \\  \\   2 + 4 -  \frac{8}{3}  -  \frac{1}{2}  + 2 -  \frac{1}{3}  \\  \\ 8 - 3 -  \frac{1}{2}  \\  \\   \boxed{ \boxed{\frac{9}{2} u.a}}

A questão ainda diz que devemos multiplicar essa área por 2:

  \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \frac{9}{2} .2 = 9 \: u.a}}}}

Espero ter ajudado

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