Question

Qual a área da região delimitada pelas funções f(x) = x2 + 1 e g(x) = 3 - x2

Answer 1

1º passo: verificar onde o gráfico dessas funções se interceptam.
- Resolver a equação
f(x) = g(x)
x² + 1 = 3 - x²
2x² = 2
x² = 1
x = ±1

2º passo: resolver a integral ∫ [f(x)-g(x)] dx, x indo de -1 a 1

∫ [f(x) - g(x)] dx =
∫ [x² + 1 - 3 + x²] dx =
∫ [ 2x² - 2] dx =
[ 2/3 x³ - 2x ] | -1 a 1
[2/3 - 2] - [-2/3 + 2] =
2/3 - 2 + 2/3 - 2 =
4/3 - 4 =
-8/3

A integral deu negativa pois a função f(x)-h(x), de -1 a 1 forma um gráfico abaixo do eixo x. O valor da área delimitada pelas duas funções será o módulo dessa integral, ou seja, 8/3.

Answer 2

Olá!
 
   
    Primeiramente veja onde são as interseções dos gráficos:


$f(x)=g(x)\Leftrightarrow x^2+1=3-x^2\Leftrightarrow 2x^2=2\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow x=\pm\;1.\\ \\ \text{Para x=1 , temos}\; f(x) = g(x) = 2.\;\;\text{Ent\~ao, o ponto (1,2) est\'a na }\\ \text{interse\c c\~ao.}\\ \\ \text{Do mesmo modo, para x=-1 , temos} \;\; f(x) = g(x) = 2.\;\;\text{Assim,}\\ \text{o ponto (-1,2) tamb\'em est\'a na interse\c c\~ao.}$


    Agora, note que se fizermos a área abaixo do gráfico da função g menos a área abaixo do gráfico da função f, teremos o valor procurado. Ainda, o intervalo para integração será   $[-1,1]$  (veja os pontos de interseção).
 
    Segue que a área A procurada será


$\displaystyle A=\int_{-1}^1 g(x)\;dx-\int_{-1}^1f(x)\;dx = \int_{-1}^13-x^2\;dx-\int_{-1}^1x^2+1\;dx =\\ \\ \\ = \int_{-1}^13-x^2-x^2-1\;dx = \int_{-1}^12-2x^2\;dx = 2\int_{-1}^11-x^2\;dx = \\ \\ \\ = 2\left(x-\dfrac{x^3}{3}\right)\Bigg{|}_{-1}^1=2\left[\left(1-\dfrac{1}{3}\right)- \left(-1-\dfrac{(-1)}{3}\right)\right] = \\ \\ \\ = 2\left(1-\dfrac{1}{3}+1-\dfrac{1}{3}\right) = 2\left(2-\dfrac{2}{3}\right)=2\left(\dfrac{4}{3}\right) = \dfrac{8}{3}\;\text{u.a.}$


onde esse  u.a.  significa "unidades de área".



Bons estudos!