Question

qual a área a baixo da curva y=-x^2+2 e acima da reta y = x ? eu fiz usando a integral dos pontos de interecçoes entre as funçoes mas n sei c esta certo cheguei no resultado de 9/2

Answer 1

Utilizando a integral de diferenças, obtemos o exato mesmo valor para área, de 9/2.

Explicação passo-a-passo:

Então temos estas duas funções:

$y=-x^2+2$

E

$y=x$

Vamos primeiramente igualar as duas para obter os pontos de intersecção:

$x=-x^2+2$

$-x^2-x+2=0$

Resolvendo esta equação do segundo grau, obtemos dois valores de x para onde estas duas se intersectam:

$x_1=1$

$x_1=-2$

Então nossa integral, assim como você já tinha feito, será de -2 a 1.

Agora o que iremos integrar é a diferenção entre estas duas funções, pois queremos somente a área entre eles, assim teremos a função diferença d(x):

$d(x)=(-x^2+2)-(x)$

$d(x)=-x^2-x+2$

Agora podemos integrar normalmente:

$A=\int\limits^{1}_{-2} -x^2-x+2 dx$

$A=[\frac{-x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x]\limits^{1}_{-2}$

$A=[\frac{-1^3}{3}+\frac{(-2)^3}{3}-\frac{1^2}{2}+\frac{(-2)^2}{2}+2.1-2.(-2)]$

$A=[-\frac{1}{3}-\frac{8}{3}-\frac{1}{2}+\frac{4}{2}+2+4]$

$A=[-\frac{9}{3}+\frac{4-1}{2}+6]$

$A=[-3+\frac{3}{2}+6]$

$A=[\frac{3}{2}+3]$

$A=[\frac{3}{2}+\frac{6}{2}]$

$A=[\frac{9}{2}]$

$A=\frac{9}{2}$

Então nos obtemos o exato mesmo valor para área, de 9/2.