Question

Qual a antiderivada de F(x)dx , para f(x) = x^3+4x+5

Answer 1

A antiderivada de uma função é o processo que desfaz a derivada da mesma. Esse processo recebe o nome de integração e seu símbolo é representado por ∫.

A antiderivada de F(x)dx para

f(x)=x³-4x+5 é ∫〖(x³-4x+5 )dx〗

= x^(3+1)/(3+1) -4. x^(1+1)/(1+1)+5.x+C

=x^4/4-4. x^2/2+5.x+C= x^4/4-2x²+5x+C

A constante é importante porque F(x) pertence a uma família de funções.

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a primitiva ou antiderivada ou integral indefinida da referida função é:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf F(x) = \int (x^{3} + 4x + 5)\,dx = \frac{x^{4}}{4} + 2x^{2} + 5x + k\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função:

                      $\LARGE\displaystyle\begin{gathered}\tt f(x) = x^{3} + 4x + 5\end{gathered}$

Para calcular a primitiva ou antiderivada ou integral indefinida de uma determinada função devemos levar em consideração a seguinte regra de primitivação:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \term{Se}\:f(x) = x^{n} \Longrightarrow F(x) = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + k,\:\:\:n\neq-1,\:\:\forall k \in \mathbb{R}\end{gathered} }$

Então, calculando a primitiva, temos:

         $\LARGE\displaystyle\begin{gathered}\tt F(x) = \int f(x)\,dx\end{gathered}$

                     $\LARGE\displaystyle\begin{gathered}\tt = \int (x^{3} + 4x + 5)\,dx\end{gathered}$

                     $\LARGE\displaystyle\begin{gathered}\tt = \int x^{3}\,dx + \int 4x\,dx + \int 5\,dx\end{gathered}$

                     $\LARGE\displaystyle\begin{gathered}\tt = \int x^{3}\,dx + 4\cdot\int x\,dx + 5\cdot\int dx\end{gathered}$

                     $\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \frac{x^{3 + 1}}{3 + 1} + 4\cdot\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1} + 5x + k\end{gathered} }$

                     $\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \frac{x^{4}}{4} + \frac{4x^{2}}{2} + 5x + k\end{gathered} }$

                    $\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \frac{x^{4}}{4} + 2x^{2} + 5x + k\end{gathered} }$ 

✅ Portanto, a primitiva da função é:

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt F(x) = \int (x^{3} + 4x + 5)\,dx = \frac{x^{4}}{4} + 2x^{2} + 5x + k \end{gathered} }$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$