Question

Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y pode-se dizer que:
Escolha uma:
a) x+2y é racional
b) x-y+$\sqrt{2}$ é irracional
c) y.y é irracional
d) x+y é irracional
e) x+y é racional

Answer 1

Vamos resolver por eliminação. Para mostrarmos que uma determinada alternativa é falsa, basta que encontremos um contraexemplo:

a) Falsa. Inclusive, a afirmação nunca é válida. Tome, por exemplo, x = 1 e y = √2.

b) Falsa. Nesse caso, tentarmos anular a "parte irracional" de y com o outro irracional da expressão (√2). Podemos tomar y = √2, obtendo x - √2 + √2 = x (um racional) ou, mais genericamente, y = a + √2, onde a é um racional. Confira!

c) Falsa. Veja que y·y = y². Basta lembrarmos que a raiz quadrada de qualquer número natural que não é um quadrado perfeito é um número irracional. Assim, basta tomarmos y = √2, por exemplo, onde teríamos y² = (√2)² = 2. Mais genericamente, podemos tomar y = √a, com a sendo um natural que não é quadrado perfeito. (Confira!)

d) Verdadeira. Nosso artifício até agora foi anular a "parte irracional" de y. Numa soma, como x não apresenta uma "parte irracional" também, não há meios de fazê-lo.

e) Falsa. Inclusive, é falsa para quaisquer x e y nas condições do enunciado, pelo que foi dito em (d). Tome x = 1 e y = π, por exemplo.

Portanto, a resposta é correta é a Letra D.