Question

Quais são os valores de m para que a função $y=x^2+(m-2)x+m^2$ possua 2 raízes distintas $x_1$ e $x_2$, tais que:

$|x_1-x_2|=1$

Answer 1

Para que a função

y = x² + (m ‒ 2)x + m²

tenha duas raízes reais distintas, o seu discriminante Δ deve ser positivo:

Δ = b² ‒ 4ac
Δ = (m ‒ 2)² ‒ 4 · 1 · m²
Δ = m² ‒ 4m + 4 – 4m²
Δ = – 3m² – 4m + 4

Queremos

Δ > 0
– 3m² – 4m + 4 > 0
3m² + 4m – 4 < 0

Fatorando por agrupamento,

3m² + 6m – 2m – 4 < 0
3m · (m + 2) – 2 · (m + 2) < 0
(m + 2) · (3m – 2) < 0

Esta é uma inequação-produto. As raízes do lado esquerdo são – 2 e 2/3.

Como queremos que o produto seja negativo, devemos ter

– 2 < m < 2/3 (i)

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As raízes da equação quadrática em x são

x = [– b ± √Δ]/(2a)
x = [–(m – 2) ± √( – 3m² – 4m + 4)]/(2 · 1)
x = [– m + 2 ± √( – 3m² – 4m + 4)]/2

x₁ = [– m + 2 – √( – 3m² – 4m + 4)]/2

x₂ = [– m + 2 + √( – 3m² – 4m + 4)]/2

Queremos m tal que

|x₁ – x₂| = 1
x₁ – x₂ = ± 1
– 2√( – 3m² – 4m + 4)/2 = ± 1
– √( – 3m² – 4m + 4) = ± 1

O lado direito não pode ser 1 positivo, pois temos o oposto de uma raiz quadrada. Logo, devemos ter

– √( – 3m² – 4m + 4) = – 1
√( – 3m² – 4m + 4) = 1
– 3m² – 4m + 4 = 1
– 3m² – 4m + 4 – 1.= 0
– 3m² – 4m + 3 = 0
3m² + 4m – 3 = 0
3m² + 4m = 3

Multiplique os dois lados por 3:

9m² + 12m = 9
9m² + 2 · 3m · 2 = 9
(3m)² + 3m · 2 + 3m · 2 = 9

Some 2² aos dois lados, e depois fatore o quadrado perfeito que apareceu no lado esquerdo:

(3m)² + 3m · 2 + 3m · 2 + 2² = 9 + 2²
3m · (3m + 2) + 2 · (3m + 2) = 9.+ 4
(3m + 2) · (3m + 2) = 13
(3m + 2)² = 13
3m + 2 = ± √13
3m = ‒ 2 ± √13
m = (‒ 2 ± √13)/3

m₁ = (‒ 2 ‒ √13)/3
m₂ = (‒ 2 + √13)/3

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Verificando se os valores encontrados satisfazem (i):

16 > 13 > 9
4 > √13 > 3
‒ 4 < ‒ √13 < ‒ 3

Subtraindo 2 de todos os membros,

‒ 6 < ‒ 2 ‒ √13 < ‒ 5 < 2
‒ 6 < ‒ 2 ‒ √13 < 2

Dividindo todos os membros por 3,

‒ 2 < (‒ 2 ‒ √13)/3 < 2/3
‒ 2 < m₁ < 2/3 (ok)

De forma análoga,

9 < 13 < 16
3 < √13 < 4

Subtraindo 2 de todos os membros,

‒ 6 < 1 < ‒ 2 + √13 < 2
‒ 6 < ‒ 2 + √13 < 2

Dividindo todos os membros por 3,

‒ 2 < (‒ 2 + √13)/3 < 2/3
‒ 2 < m₂ < 2/3 (ok)

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Verifica-se que há dois valores de m que satisfazem o problema:

m₁ = (‒ 2 ‒ √13)/3
m₂ = (‒ 2 + √13)/3

Bons estudos! :-)